Matematiikassa vastaesimerkkiä käytetään väitteen kumoamiseen. Jos haluat todistaa, että lausuma on totta, sinun on kirjoitettava todiste siitä, että se on aina totta; esimerkin antaminen ei riitä. Verrattuna todistuksen kirjoittamiseen vastaesimerkin kirjoittaminen on paljon yksinkertaisempaa; Jos haluat osoittaa, että lause ei ole totta, sinun on annettava vain yksi esimerkki tilanteesta, jossa lausunto on väärä. Useimmat algebran vasta-esimerkit sisältävät numeerisia manipulaatioita.
Kaksi matematiikan luokkaa
Todisteiden kirjoittaminen ja vasta-esimerkkien löytäminen ovat kaksi matematiikan pääluokkaa. Suurin osa matemaatikoista keskittyy todisteiden kirjoittamiseen uusien lauseiden ja ominaisuuksien kehittämiseksi. Kun väitteitä tai oletuksia ei voida todistaa totta, matemaatikot kumoavat ne antamalla vasta-esimerkkejä.
Vasta-esimerkit ovat konkreettisia
Muuttujien ja abstraktien merkintöjen sijaan voit kumota argumentin numeerisilla esimerkeillä. Algebrassa useimpiin vasta-esimerkkeihin sisältyy manipulointi käyttämällä erilaisia positiivisia ja negatiivisia tai parittomia ja parillisia numeroita, ääritapauksia ja erikoislukuja, kuten 0 ja 1.
Yksi vastanäyte on riittävä
Vastaesimerkin filosofia on, että jos lausunto ei pidä paikkansa yhdessä skenaariossa, niin väite on väärä. Ei-matemaattinen esimerkki on "Tom ei ole koskaan sanonut valheita". Osoittaaksesi, että tämä väite on totta, sinun on toimitettava "todiste" siitä, että Tom ei ole koskaan valehdellut seuraamalla kaikkia Tomin koskaan tekemiä lausuntoja. Tämän väitteen kumottamiseksi sinun on kuitenkin näytettävä vain yksi valhe, jonka Tom on koskaan puhunut.
Kuuluisia vasta-esimerkkejä
"Kaikki alkuluvut ovat parittomia." Vaikka melkein kaikki alkuluvut, mukaan lukien kaikki yli 3 alkuluvut, ovat parittomia, "2" on parillinen alkuluku; tämä väite on väärä; "2" on asiaankuuluva vasta-esimerkki.
"Vähentäminen on kommutatiivista." Sekä summaus että kertolasku ovat kommutatiivisia - ne voidaan suorittaa missä tahansa järjestyksessä. Eli millä tahansa reaaliluvulla a ja b a + b = b + a ja a * b = b * a. Vähennyslasku ei kuitenkaan ole kommutatiivista; tämän osoittava vasta-esimerkki on: 3 - 5 ei ole yhtä suuri kuin 5 - 3.
"Jokainen jatkuva toiminto on erilainen." Absoluuttinen funktio | x | on jatkuva kaikille positiivisille ja negatiivisille luvuille; mutta sitä ei voida erottaa x = 0: ssa; koska | x | on jatkuva toiminto, tämä vasta-esimerkki osoittaa, että kaikki jatkuvat toiminnot eivät ole erottuvia.