Neliöjuuret löytyvät usein matemaattisista ja luonnontieteellisistä ongelmista, ja kaikkien opiskelijoiden on kyettävä valitsemaan neliöjuurien perusteet näiden kysymysten ratkaisemiseksi. Neliöjuuret kysyvät "mikä luku itsestään kerrottuna antaa seuraavan tuloksen", ja sellaisenaan niiden tekeminen vaatii sinua ajattelemaan lukuja hieman eri tavalla. Voit kuitenkin helposti ymmärtää neliöjuurien säännöt ja vastata kaikkiin niihin liittyviin kysymyksiin riippumatta siitä, edellyttävätkö ne suoraa laskentaa vai yksinkertaistamista.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Neliöjuuri kysyy, mikä luku kerrotaan itsestään kerrottuna, antaa tuloksen symbolin √ jälkeen. Joten √9 = 3 ja √16 = 4. Jokaisella juurella on teknisesti positiivinen ja negatiivinen vastaus, mutta useimmissa tapauksissa positiivinen vastaus on sinua kiinnostava.
Voit laskea neliöjuuret aivan kuten tavalliset numerot, joten √ab = √a √btai √6 = √2√3.
Mikä on neliöjuuri?
Neliömäiset juuret ovat vastakohta luvun "neliöimiselle" tai kertomalla se itsellään. Esimerkiksi kolme neliötä on yhdeksän (3
2 = 9), joten yhdeksän neliöjuuri on kolme. Symboleissa tämä on\ sqrt {9} = 3
Symboli “√” kehottaa sinua ottamaan luvun neliöjuuren, ja löydät tämän useimmista laskimista.
Muista, että jokaisella numerolla onkaksineliöjuuret. Kolme kerrottuna kolmella on yhtä kuin yhdeksän, mutta negatiivinen kolme kerrottuna negatiivisella kolmella on yhtä kuin yhdeksän, joten
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ text {ja} \ sqrt {9} = ± 3
± ollessa ”plus tai miinus”. Monissa tapauksissa voit jättää huomiotta numeroiden negatiiviset neliöjuuret, mutta joskus on tärkeää muistaa, että jokaisella luvulla on kaksi juurta.
Sinua saatetaan pyytää ottamaan luvun kuutio- tai neljäs juuri. Kuutiojuuri on luku, joka kerrotaan itsellään kahdesti, on yhtä suuri kuin alkuperäinen luku. Neljäs juuri on luku, joka kerrotaan itsellään kolme kertaa yhtä suuri kuin alkuperäinen luku. Neliöjuurien tavoin nämä ovat aivan päinvastaisia kuin numeroiden voiman ottaminen. Joten 33 = 27, ja se tarkoittaa, että 27: n kuutiojuuri on 3 tai
\ sqrt [3] {27} = 3
Symboli “∛” edustaa sen jälkeen tulevan luvun kuutiojuuria. Juuret ilmaistaan joskus myös murto-voimina, joten
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {ja} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Neliön juurien yksinkertaistaminen
Yksi haastavimmista tehtävistä, jotka sinun on ehkä suoritettava neliöjuurilla, on suurten neliöjuurien yksinkertaistaminen, mutta sinun on vain noudatettava joitain yksinkertaisia sääntöjä näiden kysymysten ratkaisemiseksi. Voit kertoa neliöjuuret samalla tavalla kuin tavalliset numerot. Joten esimerkiksi 6 = 2 × 3, niin
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Suurempien juurien yksinkertaistaminen tarkoittaa jakamista vaihe vaiheelta ja neliömäisen juuren määritelmän muistamista. Esimerkiksi √132 on iso juuri, ja voi olla vaikea nähdä, mitä tehdä. Voit kuitenkin helposti nähdä, että se on jaettavissa kahdella, joten voit kirjoittaa
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
66 on kuitenkin myös jaettavissa 2: lla, joten voit kirjoittaa:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
Tässä tapauksessa luvun neliöjuuri kerrottuna toisella neliöjuurella antaa vain alkuperäisen numeron (neliöjuuren määritelmän takia), joten
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Lyhyesti sanottuna voit yksinkertaistaa neliön juuria seuraavien sääntöjen avulla
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Mikä on neliöjuuri ...
Yllä olevien määritelmien ja sääntöjen avulla löydät useimpien numeroiden neliöjuuret. Tässä on joitain harkittavia esimerkkejä.
8: n neliöjuuri
Tätä ei löydy suoraan, koska se ei ole kokonaisluvun neliöjuuri. Yksinkertaistamista koskevien sääntöjen käyttö antaa kuitenkin:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
4: n neliöjuuri
Tässä käytetään yksinkertaista neliöjuuria 4, joka on √4 = 2. Ongelma voidaan ratkaista tarkasti laskimen avulla, ja √8 = 2.8284 ...
Neliöjuuri 12
Yritä selvittää saman lähestymistavan avulla 12: n neliöjuuri. Jaa juuret tekijöiksi ja katso sitten, voitko jakaa sen tekijöiksi uudelleen. Yritä tätä käytännön ongelmana ja katso sitten seuraava ratkaisu:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Jälleen tätä yksinkertaistettua lauseketta voidaan joko käyttää ongelmissa tarpeen mukaan tai laskea tarkalleen laskimen avulla. Laskin osoittaa sen
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
Neliöjuuri 20
20: n neliöjuuri löytyy samalla tavalla:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….
Neliöjuuri 32: sta
Lopuksi käsittele 32: n neliöjuuri samalla lähestymistavalla:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Täällä huomaa, että laskimme jo 8: n neliöjuureksi 2√2 ja että √4 = 2, joten:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5.657 ...
Negatiivisen luvun neliöjuuri
Vaikka neliöjuuren määritelmä tarkoittaa, että negatiivisilla numeroilla ei pitäisi olla neliöjuuria (koska mikä tahansa luku kerrotaan itsessään antaa positiivisen luvun seurauksena), matemaatikot kohdasivat ne osana algebran ongelmia ja suunnittelivat a ratkaisu. "Kuvitteellinen" lukuitarkoittaa "neliöjuuri miinus 1" ja muut negatiiviset juuret ilmaistaan kerrannaisinai. Niin
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Nämä ongelmat ovat haastavampia, mutta voit oppia ratkaisemaan ne määritelmän perusteellaija juurien vakiosäännöt.
Esimerkkikysymyksiä ja vastauksia
Testaa neliöjuurien ymmärtämistä yksinkertaistamalla tarvittaessa ja laskemalla sitten seuraavat juuret:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Yritä ratkaista nämä ennen kuin tarkastelet alla olevia vastauksia:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196