Maxwell-Boltzmannin jakelu: Toiminto, johdanto ja esimerkkejä

Hyvin pienten hiukkasten kanssa tapahtuvan kuvaaminen on fysiikan haaste. Niiden koon lisäksi on vaikea työskennellä, mutta useimmissa jokapäiväisissä sovelluksissa et ole tekemisissä yhden hiukkasen kanssa, mutta lukemattomat monet niistä ovat vuorovaikutuksessa toistensa kanssa.

Kiinteässä aineessa hiukkaset eivät liiku toistensa ohitse, vaan ovat melko juuttuneet paikoilleen. Kiinteät aineet voivat kuitenkin laajentua ja supistua lämpötilan vaihteluiden kanssa ja joskus jopa käydä mielenkiintoisia muutoksia kiteisiksi rakenteiksi tietyissä tilanteissa.

Nesteissä hiukkaset voivat liikkua vapaasti toistensa ohitse. Tutkijoilla ei kuitenkaan ole tapana tutkia nesteitä yrittämällä seurata, mitä kukin yksittäinen molekyyli tekee. Sen sijaan he tarkastelevat kokonaisuuden suurempia ominaisuuksia, kuten viskositeettia, tiheyttä ja painetta.

Aivan kuten nesteiden kohdalla, myös kaasun hiukkaset voivat liikkua vapaasti toistensa ohi. Itse asiassa kaasuissa voi tapahtua dramaattisia tilavuuden muutoksia lämpötilan ja paineen erojen vuoksi.

Jälleen ei ole järkevää tutkia kaasua pitämällä kirjaa siitä, mitä kukin yksittäinen kaasumolekyyli tekee, jopa lämpötasapainossa. Se ei olisi mahdollista, varsinkin kun otetaan huomioon, että jopa tyhjässä juomalasissa on noin 1022 ilmamolekyylit. Ei ole edes tietokonetta, joka olisi tarpeeksi tehokas simuloimaan niin monta vuorovaikutuksessa olevaa molekyyliä. Sen sijaan tutkijat käyttävät makroskooppisia ominaisuuksia, kuten paine, tilavuus ja lämpötila, kaasujen tutkimiseen ja tarkkojen ennusteiden tekemiseen.

Mikä on ihanteellinen kaasu?

Kaasutyyppi, joka on helpoin analysoida, on ihanteellinen kaasu. Se on ihanteellinen, koska se mahdollistaa tiettyjä yksinkertaistuksia, jotka tekevät fysiikasta helpommin ymmärrettävän. Monet kaasut vakiolämpötiloissa ja -paineissa toimivat suunnilleen ihanteellisina kaasuina, mikä tekee niistä tutkimisen hyödylliseksi.

Ihanteellisessa kaasussa oletetaan, että itse kaasumolekyylit törmäävät täysin joustaviin törmäyksiin, jotta sinun ei tarvitse huolehtia energian muodonmuutoksesta tällaisten törmäysten seurauksena. Oletetaan myös, että molekyylit ovat hyvin kaukana toisistaan, mikä tarkoittaa olennaisesti sinun ei tarvitse huolehtia siitä, että he taistelevat keskenään avaruudesta ja voit kohdella heitä pisteinä hiukkasia. Ihanteelliset kaasut eivät myöskään ole liian kuumia eivätkä liian kylmiä, joten sinun ei tarvitse huolehtia esimerkiksi ionisaatio- tai kvanttivaikutuksista.

Täältä kaasupartikkeleita voidaan käsitellä kuin pieniä pistehiukkasia, jotka heiluttavat säiliönsä sisällä. Mutta edes tällä yksinkertaistuksella ei ole silti mahdollista ymmärtää kaasuja seuraamalla, mitä kukin yksittäinen hiukkanen tekee. Sen avulla tutkijat voivat kuitenkin kehittää matemaattisia malleja, jotka kuvaavat makroskooppisten suureiden välisiä suhteita.

Ihanteellinen kaasulaki

Ihanteellinen kaasulaki liittyy ihanteellisen kaasun paineeseen, tilavuuteen ja lämpötilaan. PainePkaasun määrä on voimaa pinta-alayksikköä kohden, jonka se kohdistuu säiliön seinämiin, jossa se on. SI-paineyksikkö on paskali (Pa), jossa 1Pa = 1N / m2. ÄänenvoimakkuuttaVkaasun määrä on sen käyttämä tilamäärä SI-yksikköinä m3. Ja lämpötilaTkaasun määrä on keskimääräisen kineettisen energian mitta molekyyliä kohti mitattuna Kelvinin SI-yksikköinä.

Ihanteellisen kaasulain kuvaava yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

PV = NkT

MissäNon molekyylien tai hiukkasten lukumäärä ja Boltzmann-vakiok​ = 1.38064852×10-23 kgm2/ s2K.

Tämän lain vastaava muotoilu on:

Missänon moolien lukumäärä ja yleinen kaasuvakioR= 8,3145 J / molK.

Nämä kaksi lauseketta vastaavat. Kumpi valitset käyttää, riippuu yksinkertaisesti siitä, mitatko molekyylimäärääsi moleina vai molekyylien lukumääränä.

Vinkkejä

  • 1 mooli = 6,022 × 1023 molekyylejä, mikä on Avogadron numero.

Kaasujen kineettinen teoria

Kun kaasu on arvioitu ihanteelliseksi, voit tehdä sen vielä lisää. Toisin sanoen sen sijaan, että otettaisiin huomioon kunkin molekyylin tarkka fysiikka - mikä olisi mahdotonta pelkän lukumääränsä vuoksi - heitä kohdellaan ikään kuin niiden liikkeet olisivat satunnaisia. Tämän vuoksi tilastoja voidaan käyttää ymmärtämään mitä tapahtuu.

1800-luvulla fyysikot James Clerk Maxwell ja Ludwig Boltzmann kehittivät kaasujen kineettisen teorian kuvattuihin yksinkertaistuksiin perustuen.

Klassisesti jokaisella kaasun molekyylillä voi olla sille omistettu liike-energia muodossa:

E_ {kin} = \ frac {1} {2} mv ^ 2

Kaikilla kaasun molekyyleillä ei kuitenkaan ole samaa kineettistä energiaa, koska ne törmäävät jatkuvasti. Molekyylien kineettisten energioiden tarkka jakauma saadaan Maxwell-Boltzmann-jakaumasta.

Maxwell-Boltzmannin tilastot

Maxwell-Boltzmannin tilastot kuvaavat ihanteellisten kaasumolekyylien jakautumista eri energiatiloissa. Tätä jakaumaa kuvaava toiminto on seuraava:

f (E) = \ frac {1} {Ae ^ {\ frac {E} {kT}}}

MissäAon normalisointivakio,Eon energiaa,kon Boltzmannin vakio jaTon lämpötila.

Muita oletuksia tämän toiminnon saamiseksi ovat, että niiden pistehiukkasten luonteen vuoksi ei ole rajoitusta sille, kuinka monta hiukkaa voi käyttää tiettyä tilaa. Myös hiukkasten jakautuminen energiatilojen välillä vie väistämättä todennäköisimmän jakauman (kanssa Suurempi määrä hiukkasia, todennäköisyys, että kaasu ei ole lähellä tätä jakaumaa, kasvaa yhä enemmän pieni). Ja lopuksi kaikki energiatilat ovat yhtä todennäköisiä.

Nämä tilastot toimivat, koska on erittäin epätodennäköistä, että jokin tietty hiukkanen päätyisi energiaan, joka on huomattavasti keskimääräistä suurempi. Jos näin tapahtuisi, se jätä paljon vähemmän tapoja lopun kokonaisenergian jakamiseen. Se supistuu numeropeliksi - koska on paljon enemmän energiatiloja, joissa hiukkaset eivät ole kaukana keskimääräisestä, järjestelmän todennäköisyys olla tällaisessa tilassa on häviävän pieni.

Keskimääräistä pienemmät energiat ovat kuitenkin todennäköisempiä, taas todennäköisyyksien vuoksi. Koska kaikkea liikettä pidetään satunnaisena ja on enemmän tapoja, joilla hiukkanen voi päätyä matalan energian tilaan, näitä tiloja suositaan.

Maxwell-Boltzmann-jakelu

Maxwell-Boltzmann-jakauma on ihanteellisten kaasupartikkelien nopeuksien jakauma. Tämä nopeudenjakotoiminto voidaan johtaa Maxwell-Boltzmannin tilastoista ja sitä voidaan käyttää paineen, tilavuuden ja lämpötilan välisten suhteiden johtamiseen.

Nopeuden jakautuminenvsaadaan seuraavalla kaavalla:

f (v) = 4 \ pi \ Big [\ frac {m} {2 \ pi kT} \ Big] ^ {3/2} v ^ 2e ^ {[\ frac {-mv ^ 2} {2kT}]}

Missämon molekyylin massa.

Liittyvä käyrä nopeudenjakautumistoiminnon kanssay-akseli ja molekyylinopeusx-akseli, näyttää suunnilleen epäsymmetriseltä normaalikäyrältä, jossa oikealla on pidempi häntä. Sen huippuarvo on todennäköisin nopeusvsja keskimääräinen nopeus, jonka antaa:

v_ {avg} = \ sqrt {\ frac {8kT} {\ pi m}}

Huomaa myös, kuinka sillä on pitkä kapea häntä. Käyrä muuttuu hieman eri lämpötiloissa, pitkästä hännästä tulee "paksumpi" korkeammissa lämpötiloissa.

Esimerkkejä sovelluksista

Käytä suhdetta:

E_ {int} = N \ kertaa KE_ {avg} = \ frac {3} {2} NkT

MissäEinton sisäinen energia,KEkeskim on keskimääräinen kineettinen energia molekyyliä kohden Maxwell-Boltzmann-jakaumasta. Yhdessä ihanteellisen kaasulain kanssa on mahdollista saada paineen ja tilavuuden suhde molekyyliliikkeessä:

PV = \ frac {2} {3} N \ kertaa KE_ {keskim.}

  • Jaa
instagram viewer