Kulmamomentti: Määritelmä, yhtälö, yksiköt (piirustukset ja esimerkit)

Harkitse kohtausta: Sinä ja ystäväsi seisotte riippumattomista asioista johtuen pitkän, alaspäin kaltevan rampin yläosassa. Kullekin teistä on annettu pallo, jonka säde on täsmälleen 1 m. Sinulle on kerrottu, että sinun on valmistettu yhtenäisestä, vaahtomaisesta materiaalista ja sen massa on 5 kg. Ystäväsi pallon massa on myös 5 kg, jonka varmistat kätevällä asteikolla.

Ystäväsi haluaa lyödä vetoa siitä, että jos päästät kaksi palloa samanaikaisesti, sinun tulee ensin pohjaan. Sinulla on kiusaus väittää, että koska palloilla on sama massa ja sama säde (ja siten myös tilavuus), ne kiihtyvät painovoiman avulla rampilla alas samaan nopeuteen koko laskeutumisen ajan. Mutta jokin lopettaa vedonlyönti "vauhti", ja et ota vetoa ...

... viisaasti, kuten käy ilmi. Vaikka aluksi ei ole mitään järkeä, ystäväsi pallo, joka on kaikilta osin oman kaksosesi, liikkuu ramppia pitkin hitaammin kuin sinun. Kun kokeilu on ohi, vaadit pallojen purkamista ja tutkitaan temppujen merkkien varalta. Sen sijaan kaikki, mitä löydät, on se, että ystäväsi pallossa oleva 5 kg massa rajoittui ohueen kuoreen ulkopuolelle, sisätilan onttoon.

Entä edellä kuvattu kokoonpano kallistaa v: n arvon pallon hyväksi? Kuten tapahtuu, aivan kutenvoimatmuutalineaarinen liikemääräesineiden kanssalineaarinen nopeus​, ​vääntömomentitmuutakulmamomenttiesineiden kanssakulmanopeus​.

Jäykällä liikkuvalla esineellä on sekä lineaarinen että kulmamomentti, koska kun sen massakeskus liikkuu vakionopeudella v (yhtä suuri pallon tai pyörän tangentiaaliseen nopeuteen), kohteen kaikki muut osat pyörivät kyseisen massakeskipisteen ympäri kulmanopeudella ω.

Sillä, miten massa jakautuu kohteen sisällä, ei ole merkitystä sen lineaariselle momentille, mutta se määrittää sen kulmamomentin erinomaisesti. Se tekee tämän "massamaisen" (pyörimistarkoituksia varten) määrän kautta, jota kutsutaan hitausmomentiksi, suuremmiksi arvoiksi mikä tarkoittaa sekä vaikeuksia saada jotain pyörivää että enemmän vaikeuksia pysäyttää se, kun se on jo pyörivä.

Kulmamomentti mittaa kuinka vaikeaa on muuttaa kohteen pyörimisliikettä. Se riippuu kohteen hitausmomentista ja sen kulmanopeudesta. Kulmamomentti on konservoitunut määrä, mikä tarkoittaa, että suljetussa järjestelmässä olevien hiukkasten kulmamomenttien summa on aina sama, vaikka yksittäisten hiukkasten summa voi vaihdella.

Kulmamomentti on, kuten todettiin, myös massan jakautumisen funktio akselin ympäri. Saadaksesi intuitiivisen tunteen tästä, kuvittele seisovan yksi jalka valtavan karusellin keskeltä, joka tekee yhden kierroksen 10 sekunnin välein. Kuvittele nyt olevasi samassa muunnoksessa samalla kulmanopeudella seisomassa 1mailin päässäkeskustasta. Ei tarvitse paljon mielikuvitusta ajatella kulmamomentin eroa näissä kahdessa skenaariossa.

​Kulmamomentti on hitausmomentin ja sen kulmanopeuden tulo tai
​

missäL= kulmamomentti kg ∙ m²/s,Minä= hitausmomentti kg ∙ m²ja ω = kulmanopeus radiaaneina sekunnissa (rad / s).

• ​Minäkutsutaan myös alueen toiseksi hetkeksi.

Huomaa, että keskustelu on laajentunut pistemassasta kiinteään kappaleeseen, kuten sylinteriin tai palloon, pyörivään akselin ympäri. Esineen massakeskus ei useinkaan ole siinägeometrinenkeskellä, joten arvotMinäriippuvat siitä, kuinka kohteen massa jakautuu. Usein tämä on symmetristä, mutta ei yhtenäistä, kuten ontto levy, jonka koko massa on ohuessa nauhassa ulkopuolelta (toisin sanoen rengas).

Kulmamomenttivektori osoittaa pyörimisakselia pitkin kohtisuoraan sen muodostamaan tasoonr, objektin minkä tahansa pisteen pyöreä "pyyhkäisy" avaruuden läpi.

Viitekaavio arvonMinäeri tavallisille muodoille löytyy Resursseista. Käytä näitä aloittaaksesi muutaman peruskulmaongelman.

• Ota huomioon, ettäMinäpallomaisen kuoren kohdalla on (2/3) mr² kun pallo on (2/5) mr². Palataksesi johdannossa olevaan panokseen, näet nyt, että ystäväsi pallolla on (2/3) / (2/5) = 1,67 kertaa hitausmomentti omana, mikä selittää sinun voittaneen "kilpailun".

1. Levy, jolla on pyörimisinertiaMinä1,5 kg ∙ m²/ s pyörii akselin ympäri kulmanopeudellaω8 rad / s. Mikä sen kulmamomentti onL​?

2. Ohut sauva, jonka pituus on 15 m ja massa 5 kg - massiivisen kellon käsi, esimerkiksi - pyörii pisteestä, joka on kiinnitetty toisesta päästä kulmanopeudellaω2π rad / 60 s = (π / 30) rad / s. Mikä on sen kulmamomenttiL​?

Tällä kertaa sinun on etsittävä arvonMinä. Tällä tavoin liikkuvalle ohuelle sauvalleMinä= (1/3) mr²​.

Vertaa tätä vastaukseen ensimmäisessä esimerkissä. Yllättääkö tämä sinut? Miksi tai miksi ei?

"Säilyttäminen" tarkoittaa jotain fysiikassa hieman erilaista kuin ekosysteemien alueella. Se tarkoittaa yksinkertaisesti, että säilyneiden määrien kokonaismäärä (energia, liikemäärä, massa ja inertia ovat) "suuret neljä" konservoitunutta määrää fysiikassa) järjestelmässä, mukaan lukien maailmankaikkeus, pysyy aina sama. Jos yrität "poistaa" energiaa, se yksinkertaisesti näkyy toisessa muodossa, ja kaikki yritykset "luoda" riippuvat jo olemassa olevasta lähteestä.

Kulmamomentin säilymislaki toteaa, että suljetussa järjestelmässä kokonaiskulmamomentti ei voi muuttua. Koska kulmamomentti riippuu kulmanopeudesta ja hitausmomentista, voidaan ennustaa, kuinka jommankumman näistä määristä on sitten muutettava suhteessa toisiinsa tietyssä tilanteessa.

• Muodollisesti, koska vääntömomentti voidaan ilmaistaτ= dL/ dt (muutosnopeus, jos kulmamomentti ajan myötä), kun järjestelmän vääntömomenttien summa on nolla, niin dL/ dt: n on oltava myös nolla, eikä kulmamomentissa ole muutosta järjestelmässä sen ajanjakson aikana, jona järjestelmää arvioidaan. Toisaalta, jos L ei ole vakio, tämä tarkoittaa järjestelmän vääntömomenttien epätasapainoa (ts.τ_nettoOneinolla).

Tämä on tärkeä käsite monissa päivittäisen elämän mekaniikkamalleissa. Klassinen esimerkki on luistelija: Kun hän hyppää ilmaan tekemään kolminkertaisen akselin, hän vetää raajansa tiukasti sisään. Tämä pienentää hänen kokonaissädeään pyörimisakselinsa ympäri ja muuttaa massan jakautumistaan ​​siten, että hänen hitausmomentti pienenee (muista,Minäon verrannollinen m: äänr²​).

Koska kulmamomentti on säilynyt, josMinäpienenee, hänen kulmanopeuden täytyy kasvaa; näin hän pyörii tarpeeksi nopeasti suorittaakseen useita kierrosta ilmassa! Laskeutuessaan hän tekee päinvastaisen - hän levittää raajansa, muuttamalla massan jakautumistaan ​​hitausmomentin lisäämiseksi, hidastamalla vuorotellen pyörimisnopeuttaan (kulmanopeutta).

Kaiken kaikkiaan järjestelmän kulmamomentti on vakio, mutta muuttujia, jotka määrittävät kulmamomentin suuruuden, voidaan manipuloida ja strategisesti, kuten tässä tapauksessa.

1600-luvulta lähtien Isaac Newton ryhtyi mullistamaan matemaattisen fysiikan tehokkaasti. Kun hän oli keksinyt laskun, hänellä oli hyvät mahdollisuudet esittää muodollisia väitteitä oletettavasti universaaleista laeista esineiden liikkeen hallitseminen, sekä translatiivisesti (lineaarisesti ja avaruuden läpi) että pyörimissuunnassa (syklisesti ja noin) akseli).

• Erisäilyttämislaitjotka mainitaan myöhemmin runsaasti, eivät ole Newtonin aivolapset, mutta näiden ja liikelakien välillä on merkittäviä suhteita.

​Newtonin ensimmäinen lakitoteaa, että lepotilassa oleva tai vakionopeudella liikkuva esine pysyy tässä tilassa, ellei esineeseen kohdistu ulkopuolista voimaa. Tätä kutsutaan myösinertian laki.​

​Newtonin toinen lakiväittää, että nettovoimaF_nettovaikuttaa massaan olevaan hiukkaseenm, se pyrkii muuttamaan massan nopeutta tai kiihdyttämään sitä. Tämä kuuluisa suhde ilmaistaan ​​matemaattisestiF_netto= ma​.

​Newtonin kolmas lakisanoo, että jokaiselle luonnossa esiintyvälle voimalle on olemassa voima, joka on yhtä suuri, mutta osoittaa täsmälleen päinvastaiseen suuntaan. Tällä lailla on merkittäviä vaikutuksia liikkeen säilyviin ominaisuuksiin, mukaan lukien kulmamomentti.

Nyt on hyvä aika tarkastella niiden luonnetta, sääntöjä ja suhteitapakottaa​, ​vauhtia(massa kertaa nopeus) jaenergiaa, jotka kertovat paitsi kulmamomentista keskusteluista myös kaikesta muusta klassisessa fysiikassa.

Kuten on mainittu, ellei esine kokea ulkoista voimaa (tai pyörivän kohteen tapauksessa, ulkoinen vääntömomentti), sen liike jatkuu muuttumattomana. Maapallolla painovoima on kuitenkin käytännöllisesti katsoen aina sekoituksessa, samoin kuin vähäisempien tekijöiden ilmavirta ja erilaiset kitkat voimia, joten mikään ei yksinkertaisesti liiku, ellei sille ajoittain anneta energiaa korvata mitä tämä krooninen liike "ottaa" varkaat. "

Yksinkertaistamiseksi hiukkasella onkokonaisenergiajoka koostuusisäinen energia(esim. sen molekyylien värähtely) jamekaaninen energia. Mekaaninen energia on puolestaan ​​summaMahdollinen energia(PE; "varastoitu" energia, yleensä painovoiman kautta) jakineettinen energia(KE; liikkeen energia). Hyödyllisesti PE + KE + IE = vakio kaikille järjestelmille, olipa se sitten pistemassa (yksittäinen hiukkanen) tai erilaisia ​​viheltäviä, vuorovaikutuksessa olevia massoja.

Kun kuulet liikkeeseen liittyviä termejä, kuten nopeus, kiihtyvyys, siirtymä ja liikemäärä, oletat todennäköisesti oletuksena, että konteksti on lineaarinen liike. Pyörimisliikkeellä on itse asiassa omat ainutlaatuiset mutta analogiset suuruutensa.

Kun lineaarinen siirtymä mitataan metreinä (m) SI-yksiköissä, kulmapoikkeama mitataan radiaaneina (2π rad = 360 astetta). Asianmukaisesti,kulmanopeusmitataan rad / s ja sitä edustaaω, kreikkalainen kirjain omega.

Kuitenkin, kun pistemassa liikkuu pyörimisakselinsa ympäri, kulmanopeuden lisäksi hiukkanen seuraa ympyräreittiä tietyllä nopeudella, joka muistuttaa lineaarista liikettä. Tämä korko ontangentiaalinen nopeus​ ​v_t​​,ja on yhtä suuri kuin rω,missäron säde tai etäisyys pyörimisakselista.

Tähän liittyenkulmakiihtyvyys​ ​α(Kreikan alfa) on kulmanopeuden muutosnopeusωja mitataan rad / s². Siellä on myössentripetaalikiihtyvyys​ ​a_cantamav_t²/r,joka on suunnattu sisäänpäin kohti pyörintäakselia.

• Kun keskustellaan kulmamomentista, m: n vastinevlineaarisesti, siitä keskustellaan pian perusteellisesti, tiedä, että yksi sen komponenteista,Minävoidaan ajatella massan pyörimisanalogiksi.

Kulmamomentti, kuten voima, siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys, on avektorisuure, koska tällaiset muuttujat sisältävät sekä asuuruus(eli luku) ja asuunta, annetaan usein sen yksittäisten x-, y- ja z-komponenttien ehdot. Määriä, jotka sisältävät vain numeerisen elementin, kuten massa, aika, energia ja työ, kutsutaanskalaariset määrät​.