Enne raskuskeskme arutamist oletame, et mõned parameetrid. Üks, et teil on tegemist objektiga, mis asub Maa pinnal, mitte kusagil kosmoses. Ja kaks, et objekt on mõistlikult väike - ütleme, mitte kosmoselaev, mis seisab Maal ja ootab õhkutõusmist. Kui kõik need maavälised mõjud on kõrvaldatud, on teil hea võimalus geomeetriliste objektide raskuskeskme arvutamiseks suhteliselt lihtne valem - ja tegelikult, just seatud tingimuste tõttu, kasutate raskuskeskme leidmiseks sama valemit kui massikeskus.
Kuidas kirjutada raskuskeskmest
Raskuskeskme kahemõõtmelises tasapinnas tähistatakse tavaliselt koordinaatidega (xcg, ycg) või mõnikord muutujate järgixjaybaar nende kohal. Samuti lühendatakse mõistet "raskuskese" mõnikord tähega cg.
Kuidas arvutada kolmnurga CG
Teie matemaatika- või füüsikaõpikus on sageli diagrammid, et määrata kindlaks teatud arvude tasakaalukese. Kuid mõnede levinumate geomeetriliste kujundite puhul saate selle kuju raskuskeskme leidmiseks kasutada sobivat raskuskeskme valemit.
Kolmnurkade puhul asub raskuskese punktis, kus kõik kolm mediaani ristuvad. Kui alustate kolmnurga ühest tipust ja tõmbate seejärel sirgjoone teise külje keskpunkti, on see üks mediaan. Tehke sama ka ülejäänud kahe tipu puhul ja punkt, kus kõik kolm mediaani ristuvad, on kolmnurga raskuskese.
Ja muidugi on selleks ka valem. Kui kolmnurga raskuskeskme koordinaadid on (xcg, ycg), leiate selle koordinaadid järgmiselt:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ tekst {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
Kus (x1, y1), (x2, y2) ja (x3, y3) on kolmnurga kolme tipu koordinaadid. Saate valida, millisele tipule milline number on määratud.
Ristküliku raskuskeskme valem
Kas märkasite, et kolmnurga raskuskeskme leidmiseks määrate lihtsalt x-koordinaatide väärtuse, siis keskmistage y-koordinaatide väärtus ja kasutage kahte tulemust oma raskuskeskme koordinaatidena?
Ristküliku raskuskeskme leidmiseks teed täpselt sama. Kuid arvutuste veelgi lihtsamaks muutmiseks eeldage, et ristkülik on suunatud otse ristkülikule koordinaattasand (nii et see ei ole nurga all) ja selle alumine vasak tipp on graafik. Sel juhul leida (xcg, ycg) ristküliku jaoks peate arvutama ainult:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {height}} {2}
Kui te ei soovi oma ristkülikut koordinaattasandi alguspunkti ümber paigutada või kui see pole mingil põhjusel täpselt ruudukujuline koordinaattelgedega, võite selle pisut hirmsama välimusega, kuid siiski efektiivse valemiga silmitsi seista, et väärtuse leidmiseks keskendada kõik selle x-stcgja keskmistage kõik y-koordinaadid, et leida y väärtuscg:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ tekst {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
Raskuskeskme võrrand
Mis siis, kui peate arvutama kuju raskuskeskme, mis sobib kõigi esmalt mainitud eeldustega (põhimõtteliselt ei püüa te teha sõna otseses mõttes raketiteadust kosmoses olevate objektide raskuskeskme leidmisega), kuid see ei kuulu üheski äsja mainitud kategooriasse ega teie õpik? Seejärel saate oma kuju jagada tuttavamateks kujunditeks ja kasutada järgmisi võrrandeid nende kollektiivse raskuskeskme leidmiseks:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ tekst {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
Või teisiti öeldes xcg võrdub lõigu pindala 1-kordse asukohaga x-teljel, lisatuna sektsiooni pindalale 2-kordne asukoht ja nii edasi, kuni olete liitnud kõigi sektsioonide pindala-aegade asukoha; seejärel jagage kogu see summa kõigi sektsioonide kogupindalaga. Seejärel tehke sama y-ga.
K: Kuidas leida iga jaotise pindala?Keerulise või ebakorrapärase kuju jagamine tuttavamateks hulknurkadeks võimaldab teil ala leidmiseks kasutada standarditud valemeid. Näiteks kui olete selle kuju jaotanud ristkülikukujulisteks tükkideks, võite iga tüki ala leidmiseks kasutada valemit pikkus × laius.
K: Mis on iga jaotise "asukoht"?Iga lõigu asukoht on selle lõigu raskuskeskmest sobiv koordinaat. Nii et kui soovite y2 (2. segmendi asukoht), peate tegelikult esitama selle segmendi raskuskeskme y-koordinaadi. Jällegi jagate imeliku kujuga objekti tuttavamateks kujunditeks, sest saate seda kasutada juba arutatud valemid iga kuju raskuskeskme leidmiseks ja seejärel sobiva koordinaadi väljavõtmiseks s).
K: Kuhu läheb minu kuju koordinaattasandil?Saate valida, kus teie kuju koordinaattasandil asub - pidage ainult meeles, et teie vastuse raskuskese asub sama pidepunkti suhtes. Kõige lihtsam on paigutada objekt graafi esimesse kvadranti, selle alumine serv vastu x-telge ja vasak serv vastu y-telge, nii et kõik x- ja y-väärtused on positiivsed, kuid ka piisavalt väikesed, et olla juhitav.
Trikid raskuskeskme leidmiseks
Kui teil on tegemist ühe objektiga, on intuitsioon ja väike loogika mõnikord kõik, mida vajate selle raskuskeskme leidmiseks. Näiteks kui kaalute lamedat ketast, on raskuskese ketta keskpunkt. Silindris on see silindri telje keskpunkt. Ristküliku (või ruudu) puhul on see punkt, kus diagonaaljooned lähenevad.
Võib-olla olete siin märganud mustrit: kui kõnealusel objektil on sümmeetriline joon, on raskuskese just sellel sirgel. Ja kui sellel on mitu sümmeetriatelge, on raskuskese nende telgede ristumiskohas.
Lõpuks, kui proovite leida tõeliselt keeruka objekti raskuskeskme, on teil kaks võimalust: kas piitsutage oma parimad arvutuslikud integraalid (vt Allikad kolmekordse integraali jaoks, mis tähistab raskuskeskme ebaühtlase massi korral) või sisestage oma andmed selleks loodud raskuskeskmesse kalkulaator. (Raadio teel juhitavate lennukite raskuskeskme kalkulaatori näite leiate jaotisest Ressursid.)