Kujutage ette, et seisate täiesti ümmarguse areeni keskel. Vaatate areeni külgedelt rahvahulga suunas ja märkate oma parimat sõpra ühel istmel ja oma keskkooli matemaatikaõpetajat paar sektsiooni. Kui suur on nende ja teie vaheline kaugus? Kui kaugele peaksite kõndima, et sõita oma sõbra istmelt õpetaja kohale? Millised on teie vaheliste nurkade mõõdud? Need on kõik kesknurkadega seotud küsimused.
A kesknurk on nurk, mis tekib siis, kui tõmmatakse kaks raadiust ringi keskelt selle servadele. Selles näites on need kaks raadiust teie kaks vaatenurka teilt, areeni keskelt, oma sõbrale ja teie vaatevälja oma õpetajale. Nende kahe joone vahel moodustuv nurk on keskne nurk. See on ringi keskele lähim nurk.
Teie sõber ja teie õpetaja istuvad piki ümbermõõt või ringi servad. Neid ühendav rada mööda areeni on kaar.
Leidke kesknurk kaare pikkuse ja ümbermõõdu järgi
Kesknurga leidmiseks võite kasutada paari võrrandit. Mõnikord saate kaare pikkus, kaugus kahe punkti ümbermõõdul. (Näites on see kaugus, mille peate oma areenil oma sõbralt õpetaja juurde jõudmiseks ringi käima.) Kesknurga ja kaare pikkuse suhe on:
(kaare pikkus) ÷ ümbermõõt = (kesknurk) ÷ 360 °
Keskne nurk on kraadides.
See valem on mõttekas, kui sellele mõelda. Kaare pikkus kogu ringi ümber (ümbermõõt) on sama proportsiooniga kui kaare nurk kogu nurga all ringis (360 kraadi).
Selle võrrandi tõhusaks kasutamiseks peate teadma ringi ümbermõõtu. Kuid selle valemi abil saate kaare pikkuse leida ka siis, kui teate kesknurka ja ümbermõõtu. Või kui teil on kaare pikkus ja kesknurk, leiate ümbermõõdu!
Leidke kesknurk kaare pikkuse ja raadiuse järgi
Kesknurga leidmiseks võite kasutada ka ringi raadiust ja kaare pikkust. Kutsuge kesknurga mõõt the. Siis:
θ = s÷ r, kus s on kaare pikkus ja r on raadius. θ mõõdetakse radiaanides.
Jällegi saate selle võrrandi ümber korraldada sõltuvalt teie olemasolevast teabest. Kaare pikkuse leiate raadiusest ja kesknurgast. Või leiate raadiuse, kui teil on kesknurk ja kaare pikkus.
Kui soovite kaare pikkust, näeb võrrand välja järgmine:
s =θ * r, kus s on kaare pikkus, r on raadius ja θ on kesknurk radiaanides.
Kesknurga teoreem
Lisame teie näite juurde, kus olete naabri ja õpetajaga areenil. Nüüd on areenil kolmas tuttav inimene: teie naaber. Ja veel üks asi: nad on teie taga. Nende nägemiseks peate ümber pöörama.
Teie naaber asub teie sõbra ja õpetajaga umbes areenil. Naabri vaatepunktist on nurk, mille moodustavad nende vaatenurk sõbra ja vaatenurk õpetaja suhtes. Seda nimetatakse kirjutatud nurkaks. An sisse kirjutatud nurk on nurk, mis moodustub kolmest punktist mööda ringi ümbermõõtu.
Kesknurga teoreem selgitab teie poolt moodustatud kesknurga suuruse ja teie naabri moodustatud kirjutatud nurga suhet. The Kesknurga teoreem nendib seda kesknurk on kaks korda suurem kui sisse kirjutatud nurk. (See eeldab, et kasutate samu lõpp-punkte. Vaatate mõlemad õpetajat ja sõpra, mitte kedagi teist).
Siin on veel üks viis selle kirjutamiseks. Helistame teie sõbra kohale A, õpetaja kohale B ja naabri kohale C. Sina, keskmes, võid olla O.
Niisiis on kolme punkti A, B ja C puhul ringi ümbermõõdul ja punkti O keskel kesknurk ∠AOC kaks korda suurem kui sisse kirjutatud nurk ∠ABC.
See on, AOC = 2∠ABC.
See on mõtet. Sa oled sõbrale ja õpetajale lähemal, nii et sinu jaoks vaatavad nad kaugemale (suurem nurk). Staadioni teisel poolel asuvale naabrile vaatavad nad üksteisele palju lähemale (väiksem nurk).
Kesknurga teoreemi erand
Nüüd nihutame asju ülespoole. Teie naaber areeni kaugemal küljel hakkab ringi liikuma! Neil on endiselt sõbra ja õpetaja vaatevälja, kuid jooned ja nurgad muutuvad naabri liikudes pidevalt. Arvake ära: seni, kuni naaber jääb sõbra ja naabri vahel kaarest väljapoole, püsib kesknurga teoreem endiselt!
Aga mis juhtub, kui naaber kolib vahel sõber ja õpetaja? Nüüd on teie naaber väike kaar, suhteliselt väike sõbra ja õpetaja vaheline kaugus võrreldes ülejäänud areeni suurema vahemaaga. Siis jõuate kesknurga teoreemi erandini.
The erand kesknurga teoreemist väidab, et kui punkt C, naaber, asub väiksema kaare sees, on sissekirjutatud nurk pool kesknurga täiend. (Pidage meeles, et nurk ja selle täiendus lisada 180 kraadini.)
Niisiis: sisse kirjutatud nurk = 180 - (kesknurk ÷ 2)
Või: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualiseeri
Math Open Reference'il on tööriist kesknurga teoreemi ja selle erandi visualiseerimiseks. Sa pead lohistama "naabri" ringi kõikidesse erinevatesse osadesse ja jälgima nurkade muutumist. Proovige seda, kui soovite visuaalset või lisapraktikat!