Numbri ruutjuur on väärtus, mis iseenesest korrutatuna annab algse numbri. Näiteks ruutjuur 0 on 0, ruutjuur 100 on 10 ja ruutjuur 50 on 7,071. Mõnikord saate aru saada või lihtsalt meelde tuletada arvu ruutjuure, mis ise on "täiuslik ruut", mis on täisarvu korrutis iseenesest; õpingute käigus areneb tõenäoliselt nende arvude vaimne loetelu (1, 4, 9, 25, 36.. .).
Ruutjuurtega seotud probleemid on asendamatud inseneriteaduses, arvutustes ja praktiliselt igas kaasaegse maailma valdkonnas. Ehkki ruutjuure võrrandikalkulaatoreid saate hõlpsalt veebis leida (vt näiteid ressurssidest), on ruutjuure võrrandite lahendamine oluline algebra oskus, sest see võimaldab teil tutvuda radikaalide kasutamisega ja töötada paljude probleemitüüpidega väljaspool ruutjuurte valdkonda iseenesest.
Ruudud ja ruudukujulised juured: põhiomadused
Asjaolu, et kahe negatiivse arvu korrutamine annab positiivse arvu, on ruutjuurte maailmas oluline, sest see tähendab et positiivsetel arvudel on tegelikult kaks ruutjuurt (näiteks 16 ruutjuured on 4 ja −4, isegi kui ainult esimene on intuitiivne). Samamoodi ei ole negatiivsetel arvudel reaalseid ruutjuure, sest pole reaalset arvu, mis saaks iseenesest korrutatuna negatiivse väärtuse. Selles esitluses eiratakse positiivse arvu negatiivset ruutjuurt, nii et "ruutjuure 361-st" võib võtta kui "19", mitte "−19 ja 19."
Ruudujuure väärtuse hindamisel, kui ükski kalkulaator pole käepärast, on oluline mõista, et ruutude ja ruutjuurtega funktsioonid pole lineaarsed. Hiljem näete selle kohta graafikute osas, kuid ligikaudse näitena olete juba täheldanud, et ruutjuur 100 on 10 ja ruutjuur 0 on 0. Nägemise järgi võib see arvata, et ruutujuur 50 jaoks (mis on 0–100 vahel poolel teel) peab olema 5 (mis on poolel teel 0–10). Kuid olete ka juba õppinud, et 50 ruutjuur on 7,071.
Lõpuks võite olla sisestanud idee, et kahe numbri korrutamine annab numbri suurem kui ta ise, mis tähendab, et arvude ruutjuured on alati algsest väiksemad number. See pole nii! Numbrid vahemikus 0 kuni 1 on ka ruutjuurtega ja igal juhul on ruutjuur algsest numbrist suurem. Seda on kõige lihtsam näidata murdude abil. Näiteks 16/25 ehk 0,64 on täiuslik ruut nii loendis kui ka nimetavas. See tähendab, et murdosa ruutjuur on selle ülemise ja alumise komponendi ruutjuur, mis on 4/5. See on võrdne 0,80, suurem arv kui 0,64.
Ruutjuure terminoloogia
"Ruudu ruutx"kirjutatakse tavaliselt nn radikaalseks märgiks või lihtsalt radikaaliks (√). Seega igalex:
\ sqrt {x}
tähistab selle ruutjuurt. Selle ümber pööramine, arvu ruutxkirjutatakse astendiga 2 (x2). Eksponendid võtavad tekstitöötluse ja sellega seotud rakenduste üleindeksid ja neid nimetatakse ka volitusteks. Kuna radikaalseid märke pole nõudmisel alati lihtne toota, on veel üks võimalus kirjutada "ruutjuur"x"on kasutada eksponenti:
x ^ {1/2}
See on omakorda osa üldisest skeemist:
x ^ {(y / z)}
tähendab "tõsta"xvõimuley, siis võtkez'selle juur. "x1/2 tähendab seega "tõstaxesimese võimuni, mis on lihtsaltxuuesti ja võtke siis selle 2 juur ehk ruutjuur. "Laiendades seda,x(5/3) tähendab "tõsta"x5-le, seejärel leidke tulemuse kolmas juur (või kuupjuur). "
Radikaale saab kasutada muude juurte kui ruutjuure esindamiseks. Selleks lisatakse radikaali vasakusse ülanurka lihtsalt ülaindeks.
\ sqrt [3] {x ^ 5}
siis tähistab sama numbrit nagux(5/3) eelmisest lõigust.
Enamik ruutjuure on irratsionaalarvud. See tähendab, et nad pole mitte ainult kenad ja korralikud täisarvud (nt 1, 2, 3, 4.. .), kuid neid ei saa ka väljendada korraliku kümnendarvuna, mis lõpeb ilma ümardamata. Ratsionaalset arvu saab väljendada murdosana. Ehkki 2.75 pole täisarv, on see ratsionaalne arv, sest see on sama mis murd 11/4. Teile öeldi varem, et ruutujuur 50 on 7,071, kuid see on tegelikult ümardatud lõpmatust arvust kümnendkohtadest. √50 täpne väärtus on 5√2 ja näete, kuidas see varsti kindlaks tehakse.
Ruutjuure funktsioonide graafikud
Olete juba näinud, et võrrandid ruutude ja ruutjuurte kaasamisel on mittelineaarsed. Üks lihtne viis seda meeles pidada on see, et nende võrrandite lahendite graafikud ei ole jooned. See on mõistlik, sest kui, nagu märgitud, on ruut 0 0 ja 10 ruut 100, kuid ruut 5-st ei ole 50, graafiku arv, mis tuleneb lihtsalt numbri ruudutamisest, peab kõverdama oma tee õigeks väärtused.
See on graafiku
y = x ^ 2
nagu näete ise, külastades ressurssides olevat kalkulaatorit ja muutes parameetreid. Sirge läbib punkti (0,0) ja y ei lähe alla 0, mida peaksite eeldama, sest teate sedax2 pole kunagi negatiivne. Samuti näete, et graafik on sümmeetriliney-telg, mis on mõttekas ka seetõttu, et iga antud arvu iga positiivse ruutjuurega kaasneb võrdse suurusega negatiivne ruutjuur. Seetõttu, välja arvatud 0, igayväärtus graafikuly = x2 on seotud kahegax-väärtused.
Ruutjuure probleemid
Üks võimalus ruutjuure põhiprobleemide käsitsi lahendamiseks on probleemi sisse peidetud täiuslike ruutude otsimine. Esiteks on oluline olla teadlik ruutude ja ruutjuurte vähestest olulistest omadustest. Üks neist on see, täpselt nagu √x2 on lihtsalt võrdnex(kuna radikaal ja eksponent tühistavad teineteise):
\ sqrt {x ^ 2y} = x \ sqrt {y}
See tähendab, et kui teil on täiuslik ruut teise numbri korrutava radikaali all, võite selle "välja tõmmata" ja kasutada seda järelejäänud koefitsiendina. Näiteks naasmine ruutjuure 50 juurde
\ sqrt {50} = \ sqrt {(25) (2)} = 5 \ sqrt {2}
Mõnikord võite lõpetada arvu, mis hõlmab ruutjuure, mis on väljendatud murdosana, kuid on siiski irratsionaalne arv, kuna nimetaja, lugeja või mõlemad sisaldavad radikaali. Sellistel juhtudel võidakse teil paluda nimetajat ratsionaliseerida. Näiteks number
\ frac {6 \ sqrt {5}} {\ sqrt {45}}
on radikaali nii lugeja kui nimetaja. Kuid pärast "45" uurimist võite selle ära tunda punktide 9 ja 5 korrutisena, mis tähendab seda
\ sqrt {45} = \ sqrt {(9) (5)} = 3 \ sqrt {5}
Seetõttu saab murdosa kirjutada
\ frac {6 \ sqrt {5}} {3 \ sqrt {5}}
Radikaalid tühistavad üksteise ja teile jääb 6/3 = 2.