Kui teate kahte punkti, mis langevad konkreetsele eksponentsiaalsele kõverale, saate kõvera määratleda, lahendades nende punktide abil üldise eksponentsiaalfunktsiooni. Praktikas tähendab see y ja x punktide asendamist võrrandis y = abx. Protseduur on lihtsam, kui ühe punkti x-väärtus on 0, mis tähendab, et punkt asub y-teljel. Kui kummalgi punktil pole nulli x-väärtust, on x ja y lahendamise protsess tsipa keerulisem.
Miks eksponentsiaalsed funktsioonid on olulised
Paljud olulised süsteemid järgivad kasvu ja lagunemise eksponentsiaalseid mustreid. Näiteks bakterite arv koloonias suureneb tavaliselt eksponentsiaalselt ja tuumasündmuse järgne atmosfääri ümbritsev kiirgus atmosfääris väheneb tavaliselt hüppeliselt. Andmeid võttes ja kõverat joonistades on teadlastel parem prognoose teha.
Punktide paarist graafikuni
Kahemõõtmelise graafiku mis tahes punkti saab esitada kahe arvuga, mis on tavaliselt kirjutatud in-i vorm (x, y), kus x määratleb horisontaalse kauguse alguspunktist ja y tähistab vertikaali kaugus. Näiteks punkt (2, 3) on kaks ühikut y-teljest paremal ja kolm ühikut x-telje kohal. Teiselt poolt on punkt (-2, -3) kaks ühikut y-teljest vasakul. ja kolm ühikut x-telje all.
Kui teil on kaks punkti, (x1, y1) ja (x2, y2), saate määratleda neid punkte läbiva eksponentsiaalfunktsiooni, asendades need võrrandiga y = abx ning a ja b lahendamine. Üldiselt peate lahendama selle võrrandipaari:
y1 = abx1 ja y2 = abx2, .
Selles vormis näeb matemaatika veidi keeruline välja, kuid pärast mõne näite tegemist näib see vähem.
Üks punkt X-teljel
Kui üks x-väärtustest - öelge x1 - on 0, muutub toiming väga lihtsaks. Näiteks punktide (0, 2) ja (2, 4) võrrandi lahendamisel saadakse:
2 = ab0 ja 4 = ab2. Kuna me teame, et b0 = 1, esimeseks võrrandiks saab 2 = a. A asendamine teises võrrandis annab 4 = 2b2, mida lihtsustame b-ks2 = 2 või b = ruutjuur 2-st, mis võrdub ligikaudu 1,41. Määrav funktsioon on siis y = 2 (1,41)x.
Kumbki X-telje punkt
Kui kumbki x-väärtus pole null, on võrrandipaari lahendamine veidi tülikam. Henochmath tutvustab meid selle protseduuri selgitamiseks lihtsa näite abil. Oma näites valis ta paaripaari (2, 3) ja (4, 27). See annab järgmise võrrandipaari:
27 = ab4
3 = ab2
Kui jagate esimese võrrandi teisega, saate
9 = b2
nii b = 3. Võimalik, et b on ka võrdne -3-ga, kuid eeldame, et antud juhul on see positiivne.
Selle saamiseks võite mõlemas võrrandis selle väärtuse b asendada. Teist võrrandit on lihtsam kasutada, nii et:
3 = a (3)2 mida saab lihtsustada väärtusele 3 = a9, a = 3/9 või 1/3.
Neid punkte läbiva võrrandi saab kirjutada järgmiselt y = 1/3 (3)x.
Näide pärismaailmast
Alates 1910. aastast on inimeste populatsiooni kasv olnud eksponentsiaalne ja kasvukõvera koostamise abil on teadlastel parem tuleviku prognoosimine ja planeerimine. 1910. aastal oli maailma rahvaarv 1,75 miljardit ja 2010. aastal 6,87 miljardit. Võttes alguspunktiks 1910, annab see punktide paari (0, 1,75) ja (100, 6,87). Kuna esimese punkti x-väärtus on null, võime hõlpsasti leida a.
1,75 = ab0 või a = 1,75. Selle väärtuse ja teise punkti väärtuste ühendamine üldise eksponentvõrrandiga annab tulemuseks 6,87 = 1,75b100, mis annab b väärtuseks sajanda juure väärtuseks 6,87 / 1,75 või 3,93. Nii et võrrand saab y = 1,75 (sajandik juurest 3,93)x. Ehkki selle tegemiseks on vaja rohkem kui slaidireeglit, saavad teadlased selle võrrandi abil prognoosida tulevase elanikkonna arvu, et aidata praegustel poliitikutel sobivat poliitikat luua.