Miski ei aja võrrandit sassi nagu logaritmid. Need on kohmakad, raskesti manipuleeritavad ja mõne inimese jaoks veidi salapärased. Õnneks on nende lihtsate matemaatiliste avaldiste võrrandist vabanemine lihtne. Peate vaid meeles pidama, et logaritm on eksponendi pöördvõrde. Ehkki logaritmi alus võib olla mis tahes arv, on teaduses kõige levinumad alused 10 ja e, mis on irratsionaalne arv, mida nimetatakse Euleri numbriks. Nende eristamiseks kasutavad matemaatikud "logi", kui alus on 10, ja "ln", kui alus on e.
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
Logaritmivõrrandi vabastamiseks tõstke mõlemad pooled samale astendile kui logaritmide alus. Segaterminitega võrrandites koguge kõik logaritmid ühele küljele ja lihtsustage kõigepealt.
Mis on logaritm?
Logaritmi mõiste on lihtne, kuid seda on sõnadega veidi keeruline sõnastada. Logaritm on see, mitu korda peate numbri iseenesest korrutama, et saada teine number. Teine võimalus seda öelda on see, et logaritm on jõud, mille juurde tuleb tõsta teatud arv - nn alus -, et saada veel üks number. Võimsust nimetatakse logaritmi argumendiks.
Näiteks logige82 = 64 tähendab lihtsalt seda, et 8 tõstmine 2 astmele annab 64. Võrrandlogis x = 100, aluseks loetakse 10 ja argumenti saate hõlpsalt lahendada, x sest see vastab küsimusele: "10 tõstetud väärtusele, mis võrdub 100-ga?" Vastus on 2.
Logaritm on eksponendi pöördväärtus. Võrrandlog x = 100 on veel üks viis 10_ kirjutamiseksx_ = 100. See seos võimaldab võrrandist logaritme eemaldada, tõstes mõlemad pooled samasse astendisse kui logaritmi alus. Kui võrrand sisaldab rohkem kui ühte logaritmi, peab selle toimimiseks olema sama alus.
Näited
Lihtsamal juhul võrdub tundmatu arvu logaritm teise arvuga:
\ log x = y
Tõstke mõlemad pooled eksponentideni 10 ja saate
10 ^ {\ log x} = 10 ^ y
Kuna 10(log x) on lihtsalt x, saab võrrand
x = 10 ^ y
Kui kõik võrrandi mõisted on logaritmid, annab mõlema poole eksponendiks tõstmine standardse algebralise avaldise. Näiteks tõsta
\ log (x ^ 2 - 1) = \ log (x + 1)
10-ni ja saad:
x ^ 2 - 1 = x + 1
mis lihtsustab
x ^ 2 - x - 2 = 0.
Lahendused on x = −2; x = 1.
Võrrandites, mis sisaldavad segu logaritmidest ja muudest algebralistest terminitest, on oluline koguda kõik logaritmid võrrandi ühele küljele. Seejärel saate termineid lisada või lahutada. Logaritmide seaduse kohaselt kehtib järgmine:
\ log x + \ log y = \ log (xy) \\ \, \\ \ log x - \ log y = \ log \ bigg (\ frac {x} {y} \ bigg)
Segaterminitega võrrandi lahendamise protseduur:
Alustage võrrandist: Näiteks
\ log x = \ log (x - 2) + 3
Tingimuste ümberkorraldamine:
\ log x - \ log (x - 2) = 3
Rakendage logaritmide seadust:
\ log \ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 3
Tõstke mõlemad pooled astmele 10:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3
Lahenda x:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \ frac {2000} {999} = 2,002