Kuidas kuupvõrrandeid lahendada

Polünoomfunktsioonide lahendamine on kõigi matemaatikat või füüsikat õppivate isikute põhioskus, kuid protsessiga tegelemine - eriti kui tegemist on kõrgema järgu funktsioonidega - võib olla üsna keeruline. Kuupfunktsioon on üks kõige keerulisemaid polünoomvõrranditüüpe, mille peate võib-olla käsitsi lahendama. Ehkki see ei pruugi olla nii lihtne kui ruutvõrrandi lahendamine, on olemas paar meetodit saate kasutada kuupvõrrandi lahenduse leidmiseks ilma üksikasjalikke lehti kasutamata algebra.

Kuupfunktsioon on kolmanda astme polünoom. Üldine polünoomfunktsioon on kujul:

Siin, x on muutuja, n on lihtsalt suvaline arv (ja polünoomi aste), k on konstant ja teised tähed on konstantsed koefitsiendid iga astme korral x. Nii et kuupfunktsioonil on n = 3 ja on lihtsalt:

Kui sel juhul d on konstant. Üldiselt, kui peate lahendama kuupvõrrandi, esitatakse teile see järgmisel kujul:

Iga lahendus x nimetatakse võrrandi juureks. Kuupvõrranditel on kas üks tegelik juur või kolm, ehkki neid võib korrata, kuid alati on olemas vähemalt üks lahendus.

Võrrandi tüüp on määratletud suurima võimsusega, nii et ülaltoodud näites ei oleks see kuupvõrrand, kui a = 0, sest kõrgeim võimutermin oleks bx² ja see oleks ruutvõrrand. See tähendab, et kõik kuupvõrrandid on järgmised:

Lihtsaim viis kuupvõrrandi lahendamiseks hõlmab natuke aimamist ja algoritmilist tüüpi protsessi, mida nimetatakse sünteetiliseks jagamiseks. Algus on aga põhimõtteliselt sama mis kuupvõrrandilahenduste katse-eksituse meetod. Proovige arvamise abil välja selgitada, mis on üks juurtest. Kui teil on võrrand, kus esimene koefitsient, a, võrdub 1, siis on ühe juure natuke kergem ära arvata, sest need on alati konstantse termini tegurid, mida ülal tähistab d.

Niisiis, vaadates näiteks järgmist võrrandit:

Peate arvama ühe väärtusest x, kuid sellest ajast a = 1, sel juhul teate, et olenemata väärtusest peab see olema tegur 24. Esimene selline tegur on 1, kuid see jätaks:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Mis pole null ja −1 jätaks:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Mis pole jällegi null. Järgmine x = 2 annaks:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Teine ebaõnnestumine. Proovin x = −2 annab:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

See tähendab x = −2 on kuupvõrrandi juur. See näitab katse-eksituse meetodi eeliseid ja varjukülgi: vastuse saate ilma palju mõelnud, kuid see on aeganõudev (eriti kui peate enne juurte leidmist minema kõrgemate tegurite juurde). Õnneks, kui olete leidnud ühe juure, saate ülejäänud võrrandi hõlpsasti lahendada.

Peamine on teguriteoreemi kaasamine. See kinnitab, et kui x = s on lahendus, siis (x – s) on võrrandist välja tõmmatav tegur. Selles olukorras s = −2 ja nii (x + 2) on tegur, mille saame lahkumiseks välja tõmmata:

Teise sulgude rühma mõisted on ruutvõrrandi kujul, nii et kui leiate a ja b, saab võrrandi lahendada.

Seda saab saavutada sünteetilise jagamise abil. Kõigepealt kirjutage algvõrrandi koefitsiendid tabeli ülemisele reale, eraldusjoone ja seejärel teadaoleva juurega paremal:

Jätke üks varurida ja lisage selle alla horisontaalne joon. Kõigepealt võtke esimene number (antud juhul 1) alla horisontaaljoone alla oleva rea

Korrutage äsja langetatud number teadaoleva juurega. Sel juhul 1 × −2 = −2 ja see on kirjutatud loendi järgmise numbri alla järgmiselt:

Seejärel lisage numbrid teise veergu ja asetage tulemus horisontaaljoone alla:

Nüüd korrake äsja läbitud protsessi uue numbriga horisontaaljoone all: korrutage juur, pange vastus järgmise veeru tühja kohta ja lisage seejärel veerg, et saada uus number alumine rida. See jätab:

Ja siis läbige protsess viimast korda.

Asjaolu, et viimane vastus on null, ütleb teile, et teil on kehtiv juur, nii et kui see pole null, siis olete kuskil vea teinud.

Nüüd ütleb alumine rida teile teise sulgude komplekti kolme termini tegureid, nii et saate kirjutada:

Ja nii:

See on lahenduse kõige olulisem etapp ja saate sellest punktist edasi mitmel viisil lõpetada.

Kui olete teguri eemaldanud, saate lahenduse leida faktoriseerimise abil. Ülaltoodud sammust alates on see põhimõtteliselt sama probleem kui ruutvõrrandi arvutamine, mis võib mõnel juhul olla keeruline. Kuid väljend:

Kui mäletate, et kaks sulgudesse sisestatud numbrit tuleb teise koefitsiendi (7) saamiseks lisada ja kolmanda (12) saamiseks korrutada, on antud juhul üsna lihtne mõista:

Soovi korral saate selle kontrollimiseks korrutada. Ärge laske end heidutada, kui te ei näe kohe faktoriseerimist; see nõuab natuke harjutamist. See jätab algse võrrandi järgmiselt:

Mis on kohe näha, sellel on lahendused x = −2, 3 ja 4 (mis kõik on 24, algkonstandi tegurid). Teoreetiliselt võib olla võimalik näha ka kogu faktoriseerimist alates võrrandi algsest versioonist, kuid see on palju keerukam, seega on parem leida üks lahendus katse-eksituse meetodil ja kasutada ülaltoodud lähenemisviisi enne faktoriseerimine.

Kui te ei näe faktoriseerimist, võite kasutada ruutvõrrandi valemit:

Ülejäänud lahenduste leidmiseks.

Ehkki sellega tegelemine on palju suurem ja vähem lihtne, on kuupvormeli kujul lihtne kuupvõrrandi lahendaja. See on nagu ruutvõrrandi valem, milles sisestate lihtsalt oma väärtused a, b, c ja d lahenduse saamiseks, kuid on lihtsalt palju pikem.

Selles öeldakse, et:

kus

ja

Selle valemi kasutamine on aeganõudev, kuid kui te ei soovi kuupvõrrandilahenduste jaoks proovi- ja veameetodit ning seejärel ruutvalemit kasutada, siis see toimib siis, kui olete selle kõik läbi teinud.