Klassikalise mehaanika ja kvantmehaanika vahe on tohutu. Kui klassikalises mehaanikas on osakestel ja objektidel selgelt määratletud positsioonid, siis kvantmehaanikas (enne mõõtmist) a võib öelda, et osakesel on ainult võimalik võimalike positsioonide vahemik, mida laine kirjeldab tõenäosuste osas funktsioon.
Schrodingeri võrrand määratleb kvantmehaaniliste süsteemide lainefunktsiooni ning selle kasutamise ja tõlgendamise õppimine on mis tahes kvantmehaanika kursuse oluline osa. Selle võrrandi lahenduse üks lihtsamaid näiteid on kasti osake.
Laine funktsioon
Kvantmehaanikas esindab osakest alainefunktsioon. Seda tähistatakse tavaliselt kreeka tähega psi (Ψ) ja see sõltub nii asukohast kui ajast ning sisaldab kõike, mida osakese kohta teada saab.
Selle funktsiooni moodul ruudus näitab tõenäosust, et osake leitakse asukohastxajalt, tingimusel et funktsioon on “normaliseeritud”. See tähendab lihtsalt kohandatud nii, et see oleks kindel aadressilmõnedasendxsellel ajaltkui tulemused summeeritakse igas kohas, st normaliseerimistingimus ütleb, et:
\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Lainefunktsiooni abil saate arvutada osakese asukoha ootuse väärtuse ajaliseltt, kus eeldatav väärtus tähendab lihtsalt keskmist väärtust, mille eest saaksitexkui kordate mõõtmist palju kordi. Muidugi ei tähenda see, et see oleks tulemus, mille saate iga mõõtmise korral - see tähendabtõhusaltjuhuslik, kuigi mõned asukohad on tavaliselt oluliselt tõenäolisemad kui teised.
Ooteväärtusi saate arvutada veel paljude muude suuruste, näiteks impulss- ja energiaväärtuste, samuti paljude muude „vaadeldavate” väärtuste järgi.
Schrodingeri võrrand
Schrodingeri võrrand on diferentsiaalvõrrand, mida kasutatakse lainefunktsiooni väärtuse ja osakese energia omaväärtuste leidmiseks. Võrrandi võib tuletada energia säilitamisest ning osakese kineetilise ja potentsiaalse energia avaldistest. Lihtsaim viis selle kirjutamiseks on:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ osalineΨ} {\ osaline t}
Aga siinHtähistabHamiltoni operaator, mis iseenesest on üsna pikk väljend:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ osaline ^ 2} {\ osaline x ^ 2} + V (x)
Siin,mon mass, ℏ on Plancki konstant jagatud 2π-ga jaV (x) on süsteemi potentsiaalse energia üldine funktsioon. Hamiltoonlasel on kaks erinevat osa - esimene termin on süsteemi kineetiline energia ja teine termin potentsiaalne energia.
Iga kvantmehaanikas vaadeldav väärtus on seotud operaatoriga ja Schrodingeri võrrandi ajast sõltumatus versioonis on energia operaatoriks Hamiltonian. Kuid ülaltoodud ajast sõltuvas versioonis genereerib Hamiltonian ka lainefunktsiooni ajaarengu.
Kombineerides kogu võrrandis sisalduva teabe, saate kirjeldada osakese arengut ruumis ja ajas ning ennustada ka selle võimalikke energiaväärtusi.
Ajast sõltumatu Schrodingeri võrrand
Võrrandi ajast sõltuva osa saab eemaldada, kirjeldamaks olukorda, mis ajaga eriti ei arene, lahutades lainefunktsiooni ruumi ja aja osadeks:Ψ(x, t) = Ψ(x) f(t). Ajast sõltuvad osad saab seejärel võrrandist tühistada, mis jätab Schrodingeri võrrandi ajast sõltumatu versiooni:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Eon süsteemi energia. Sellel on omaväärtuse võrrandi täpne vorm koosΨ(x) mis on oma funktsioon jaEon omaväärtus, mistõttu ajast sõltumatut võrrandit nimetatakse sageli kvantmehaanilise süsteemi energia omaväärtuse võrrandiks. Ajafunktsiooni annab lihtsalt:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Ajast sõltumatu võrrand on kasulik, kuna see lihtsustab arvutusi paljudes olukordades, kus aja areng pole eriti oluline. See on kõige kasulikum vorm "osakese karbis" probleemide jaoks ja isegi aatomi ümbritsevate elektronide energiatasemete määramiseks.
Osake karbis (lõpmatu väljakaev)
Ajast sõltumatu Schrodingeri võrrandi üks lihtsamaid lahendusi on osakeses an lõpmatu sügava ruudukujulise kaevu (s.t lõpmatu potentsiaalkaevu) või ühemõõtmelise aluskarbiga pikkusL. Loomulikult on need teoreetilised idealiseerimised, kuid see annab põhiidee, kuidas lahendada Schrodingeri võrrand, arvestamata paljusid looduses esinevaid komplikatsioone.
Kui potentsiaalne energia on seatud väärtusele 0 väljaspool kaevu, kus tõenäosustihedus on samuti 0, saab selle olukorra Schrodingeri võrrand:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
Ja selle vormi võrrandi üldine lahendus on:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Piiritingimuste vaatamine võib aga seda kitsendada. Sestx= 0 jax= L, st kasti küljed või kaevu seinad, lainefunktsioon peab minema nulli. Koosinuse funktsioonil on väärtus 1, kui argument on 0, nii et piiritingimuste täitmiseks on konstantBpeab olema võrdne nulliga. See jätab:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Piiritingimusi saate kasutada ka väärtuse määramiseksk. Kuna patu funktsioon läheb väärtuste korral nullinπ, kus kvantarvn= 0, 1, 2, 3... ja nii edasi, see tähendab, millalx = L, võrrand töötab ainult siis, kuik = nπ / L. Lõpuks võite kasutada seda, et väärtuse leidmiseks tuleb lainefunktsioon normaliseeridaA(integreeruda kõigis võimalikesxväärtused, s.o 0 kuniLja seejärel määrake tulemus võrdseks 1 ja korraldage uuesti), et jõuda lõpliku avaldiseni:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Kasutades algvõrrandit ja seda tulemust, saate seejärel lahendadaE, mis annab:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
Pange tähele, et asjaolu, etnon see väljend tähendab, et energiatase onkvantiseeritud, nii et nad ei saa võttamis tahesväärtus, kuid ainult diskreetne spetsiifiliste energiataseme väärtuste kogum, mis sõltub osakese massist ja kasti pikkusest.
Osake karbis (piiratud ruutkaev)
Sama probleem muutub veidi keerulisemaks, kui potentsiaalsel kaevul on piiratud seinakõrgus. Näiteks kui potentsiaalV (x) võtab väärtuseV0 väljaspool potentsiaalset kaevu ja 0 selle sees, saab lainefunktsiooni määrata probleemiga kaetud kolmes peamises piirkonnas. See on siiski rohkem kaasatud protsess, nii et siin näete tulemusi ainult selle asemel, et kogu protsess läbi viia.
Kui kaev onx= 0 kunix = Ljällegi selle piirkonna jaoks, kusx<0 lahendus on:
Ψ (x) = Ole ^ {kx}
Piirkonna jaoksx > L, see on:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Kus
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
Kaevu sees oleva piirkonna jaoks, kus 0 <x < L, on üldine lahendus järgmine:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Kus
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Seejärel saate piiride tingimuste abil määrata konstantide väärtusedA, B, CjaD, märkides, et lisaks sellele, et kaevu seintel on määratletud väärtused, peab lainefunktsioon ja selle esimene tuletis olema kõikjal pidev ning lainefunktsioon igal pool lõplik.
Muudel juhtudel, nagu madalad kastid, kitsad kastid ja paljud muud konkreetsed olukorrad, leiate lähendusi ja erinevaid lahendusi.