Pöörlemiskineetiline energiakirjeldab objekti pöörlemisest või ringliikumisest tulenevat liikumisenergiat. Tuletage see meeldelineaarne kineetiline energiamassistmliikudes kiirusegavannab 1 / 2mv2. See on sirgjoonel liikuvate objektide sirgjooneline arvutus. See kehtib objekti massikeskme kohta, mis võimaldab objekti lähendada punktmassiks.
Kui nüüd soovime kirjeldada keerukama liikumisega laiendatud objekti kineetilist energiat, muutub arvutus keerukamaks.
Võiksime teha järjestikuseid lähendusi, purustades laiendatud objekti väikesteks tükkideks, millest igaüks võib olla ligikaudne kui a punktmassi ja arvutage siis iga punktmassi lineaarne kineetiline energia eraldi ja liidetakse need kõik kokku, et leida objekt. Mida väiksemaks me objekti lõhume, seda parem on lähendus. Piiril, kus tükid muutuvad lõpmatuks väikeseks, saab seda teha arvutustega.
Aga meil on õnne! Pöördliikumise osas on tegemist lihtsustusega. Pöörleva objekti puhul, kui me kirjeldame selle massijaotust ümber pöörlemistelje selle inertsimomendi järgi,
Mina, siis saame kasutada lihtsat pöörlemiskineetilise energia võrrandit, mida käsitletakse hiljem selles artiklis.Inertsimoment
Inertsimomenton mõõdik sellest, kui keeruline on põhjustada objekti pöörlemisliikumist ümber teatud telje. Pöörleva objekti inertsimoment sõltub mitte ainult eseme massist, vaid ka sellest, kuidas see mass jaotub ümber pöörlemistelje. Mida kaugemal mass jaotub teljest, seda raskem on pöörlemisliikumist muuta ja seega suurem inertsmoment.
SI inertsmomendi ühikud on kgm2 (mis on kooskõlas meie arusaamaga, et see sõltub massist ja kaugusest pöörlemisteljest). Erinevate objektide inertsimomendid leiate tabelist või arvutusest.
Näpunäited
Mis tahes objekti inertsimomendi leiab arvutuse ja punktmassi inertsimomendi valemi abil.
Pöördkineetilise energia võrrand
Pöörlemiskineetilise energia valemi annab:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
KusMinaon objekti inertsimoment jaωon objekti nurkkiirus radiaanides sekundis (rad / s). Pöörlemiskineetilise energia SI ühik on džaul (J).
Pöörlemiskineetilise energia valemi vorm on analoogne translatsiooni kineetilise energia võrrandiga; inertsimoment mängib massi rolli ja nurkkiirus asendab lineaarset kiirust. Pange tähele, et pöörlemiskineetilise energia võrrand annab punktmassi kohta sama tulemuse kui lineaarvõrrand.
Kui kujutame ette punktmassimliikudes raadiusega ringisrkiirusegav, siis on selle nurkkiirus ω = v / r ja inertsimoment mr2. Mõlemad kineetilise energia võrrandid annavad ootuspäraselt sama tulemuse:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (hr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancel {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Kui objekt on nii pöörlev kui ka selle massikese liikumas mööda sirgjoont (nagu juhtub näiteks veereva rehviga), siiskogu kineetiline energiaon pöörlemiskineetilise energia ja translatiivse kineetilise energia summa:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Näited pöörleva kineetilise energia valemi kasutamisest
Pöörlemiskineetilise energia valemil on palju rakendusi. Seda saab kasutada pöörleva objekti lihtsa kineetilise energia arvutamiseks, kineetilise energia arvutamiseks veerev objekt (objekt, mis läbib nii pöörlevat kui ka translatiivset liikumist) ja mida saab lahendada teiste jaoks tundmatud. Vaadake kolme järgmist näidet:
Näide 1:Maa pöörleb ümber oma telje umbes kord 24 tunni jooksul. Kui eeldame, et selle tihedus on ühtlane, siis milline on selle pöörlemiskineetiline energia? (Maa raadius on 6,37 × 106 m ja selle mass on 5,97 × 1024 kg.)
Pöörlemiskineetilise energia leidmiseks peame kõigepealt leidma inertsimomendi. Lähendades Maad tahke kerana, saame:
I = \ frac {2} {5} hr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5,97 \ korda10 ^ {24} \ tekst {kg}) (6,37 \ korda10 ^ 6 \ tekst {m}) ^ 2 = 9,69 \ korda10 ^ {37} \ tekst {kgm} ^ 2
Nurkkiirus on 2π radiaani päevas. Selle teisendamisel rad / s annab:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ cancel {\ text {day}}} \ frac {1 \ cancel {\ text {day}}} {86400 \ text {seconds}} = 7.27 \ times10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Nii et Maa pöörlemiskineetiline energia on siis:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ korda10 ^ {37} \ tekst {kgm} ^ 2) (7,27 \ korda10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ korda 10 ^ {29} \ text {J}
Lõbus fakt: see on rohkem kui kümnekordne koguenergia, mille päike minutiga välja annab!
Näide 2:Ühtlane silinder massiga 0,75 kg ja raadiusega 0,1 m veereb üle põranda püsikiirusel 4 m / s. Mis on selle kineetiline energia?
Kineetilise koguenergia annab:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Sel juhul on I = 1/2 mr2 on tahke silindri inertsimoment jaωon seotud lineaarse kiirusega ω = v / r kaudu.
Kineetilise koguenergia avaldise lihtsustamine ja väärtuste ühendamine annab:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} hr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ text {kg}) (4 \ text {m / s}) = 2,25 \ text {J}
Pange tähele, et me ei pidanud isegi raadiust kasutama! See tühistati pöörlemiskiiruse ja lineaarkiiruse vahelise otsese seose tõttu.
Näide 3:Jalgrattaga õpilane ronib puhkest mäest alla. Kui mäe vertikaalne kõrgus on 30 m, siis kui kiiresti õpilane mäe põhjas liigub? Oletame, et jalgratas kaalub 8 kg, sõitja kaalub 50 kg, iga ratas kaalub 2,2 kg (sisaldab jalgratta kaalu) ja iga ratta läbimõõt on 0,7 m. Ligikaudu rattad kõveratena ja eeldage, et hõõrdumine on tühine.
Siin saame lõpliku kiiruse leidmiseks kasutada mehaanilist energiasäästu. Potentsiaalne energia mäe tipus muudetakse kineetiliseks energiaks selle põhjas. See kineetiline energia on kogu inimese + jalgratta süsteemi translatiivse kineetilise energia ja rehvide kineetilise energia summa.
Süsteemi koguenergia:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ tekst {kg} + 8 \ tekst {kg}) (9,8 \ tekst {m / s} ^ 2) (30 \ tekst {m}) = 17,052 \ tekstisõnum {J}
Mäe põhjas on kineetiliste energiate koguenergia valem:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {rehvid} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ korda m_ {rehv} \ korda r_ {rehv} ^ 2) (v / r_ {rehv}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {rehv} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {rehv} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Lahendaminevannab:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {rehv} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Lõpuks, numbrite ühendamisel saame vastuse:
v = \ sqrt {\ frac {17,052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23,4 \ text {m / s}