Kahe skalaarkoguse korrutis on skalaar ja vektoriga skalaari korrutis on vektor, aga kuidas on lood kahe vektori korrutisega? Kas see on skalaar või mõni muu vektor? Vastus on, et see võib olla kumbki!
Vektorite koos korrutamiseks on kaks võimalust. Üks on nende punktprodukt, mis annab skalaari, ja teine ristprodukt, mis annab teise vektori. Millist toodet kasutada, sõltub konkreetsest stsenaariumist ja sellest, millist kogust proovite leida.
Thetäpne toodenimetatakse mõnikord kaskalaarkorrutisvõisisemine toode. Geomeetriliselt võite mõelda kahe vektori vahelisele punktproduktile kui meetodile vektorväärtuste korrutamiseks, mis loeb ainult samasuunalisi panuseid.
- Märkus: punkttooted võivad olla negatiivsed või positiivsed, kuid see märk ei näita suunda. Kuigi ühes dimensioonis näidatakse vektori suunda sageli märgiga, võivad skalaarkogustel olla ka nendega seotud märgid, mis ei ole suunatulemid. Võlg on vaid üks paljudest selle näidetest.
Dot-toote määratlus
Vektorite punkt korrutisa = (ax, ay)jab = (bx, by)ristkoordinaatide koordinaatsüsteemis on määratletud järgmiselt:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Kui võtate vektori punkttoote endaga, tekib huvitav seos:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Kus |a| on suurusjärk (pikkus)aPythagorase teoreemi järgi.
Kosinusseaduse abil saab tuletada veel ühe punkttoote valemi. Seda tehakse järgmiselt:
Vaatleme mitte nullvektoreidajabkoos nende erinevusvektorigaa - b. Paigutage kolm vektorit kolmnurga moodustamiseks.
Trigonomeetria koosinus seadus ütleb meile, et:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ teeta )
Ja kasutades punkttoote määratlust, saame:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Kui mõlemad väljendid võrdsustada ja seejärel lihtsustada, saame:
\ tühista {| \ bold {a} | ^ 2} + \ tühista {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ tühista {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ tühista {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ implicit \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)}
See sõnastus võimaldab meie geomeetrilisel intuitsioonil mängu tulla. Kogus |a| cos (θ) on vektori projektsiooni suurusavektorileb.
Nii võime mõelda punktproduktist kui ühe vektori projektsioonist teisele ja seejärel nende väärtuste korrutisest. Teisisõnu võib seda vaadelda kui ühe vektori korrutist teise vektori kogusega samas suunas kui tema ise.
Dot-toote omadused
Järgmised on punkttoote mitmed omadused, mis võivad teile kasulikud olla:
\ # \ tekst {1. Kui} \ theta = 0 \ text {, siis} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Seda seetõttu, et cos (0) = 1.
\ # \ tekst {2. Kui} \ theta = 180 \ text {, siis} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Seda seetõttu, et cos (180) = -1.
\ # \ tekst {3. Kui} \ theta = 90 \ text {, siis} \ bold {a \ cdot b} = 0
Seda seetõttu, et cos (90) = 0.
- Märkus: 0
θ
<90, on punktprodukt positiivne ja 90 θ <180, on punktprodukt negatiivne.
\ # \ tekst {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
See tuleneb kommutatiivse seaduse kohaldamisest punkttoote määratluse suhtes.
\ # \ tekst {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Tõend:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ tekst {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Tõend:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ paks {b}
Kuidas leida Dot-toodet
Näide 1:Füüsikas töö jõugaFobjektil, kui see läbib nihked, on määratletud järgmiselt:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ teeta)
Kus θ on jõevektori ja nihkevektori vaheline nurk.
Jõuga tehtud töö suurus näitab, kui palju see jõud nihkumisele kaasa aitas. Kui jõud on nihkega samas suunas (cos (θ) = 0), annab see oma maksimaalse panuse. Kui see on nihkega risti (cos (Ѳ) = 90), see ei anna mingit panust. Ja kui see on nihke vastas, (cos (θ) = 180), annab see negatiivse panuse.
Oletame, et laps lükkab mängurongi üle raja, rakendades 5 N jõudu rööbastee joone suhtes 25-kraadise nurga all. Kui palju teeb laps rongis tööd, kui ta seda 0,5 m liigutab?
Lahendus:
F = 5 \ tekst {N} \\ d = 0,5 \ tekst {m} \\ teeta = 25 \ kraad \\
Kasutades töö täpse toote määratlust ja ühendades väärtused, saame:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ korda0,5 \ korda \ cos (25) = \ boxed {2.27 \ text {J}}
Selle konkreetse näite põhjal peaks olema veelgi selgem, et nihke suunaga risti oleva jõu rakendamine ei toimi. Kui laps lükkas rongi rööbastee suhtes täisnurga all, ei liigu rong mööda rada edasi ega tagasi. Samuti on intuitiivne, et lapse poolt rongis tehtav töö suureneb, kui nurk väheneb ning jõud ja nihe on joondamisele lähemal.
Näide 2:Võimsus on veel üks näide füüsikalisest suurusest, mida saab arvutada punkttoote abil. Füüsikas võrdub võimsus ajaga jagatud tööga, kuid seda saab kirjutada ka jõu ja kiiruse punktproduktina, nagu on näidatud:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Kusvon kiirus.
Mõelgem eelmisele näitele, kuidas laps mängib rongiga. Kui selle asemel öeldakse meile, et rakendatakse sama jõudu, mis põhjustab rongi liikumise rööbastee kiirusel 2 m / s, siis võime võimsuse leidmiseks kasutada punkttooteid:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 korda2 \ korda \ cos (25) = 9,06 \ text {vatti}
Näide 3:Teine näide, kus füüsikas kasutatakse täpptooteid, on magnetvoo korral. Magnetvoog on antud piirkonda läbiva magnetvälja hulk. Seda leitakse magnetvälja punktproduktinaBpiirkonnagaA. (Pindvektori suund onnormaalnevõi risti ala pindalaga.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
Oletame, et 0,02 Tesla väli läbib traadisilmu raadiusega 10 cm, tehes tavapärasega 30-kraadise nurga. Mis on voog?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 korda (\ pi \ korda0,1 ^ 2) \ korda \ cos (30) = 0,000544 \ text {Wb}
Kui see voog muutub, kas muutes välja väärtust, muutes silmuspiirkonda või muutes nurga all pöörates silmust või väljaallikat, indutseeritakse vool silmus, tekitades elekter!
Pange uuesti tähele, kuidas nurk on intuitiivsel viisil asjakohane. Kui nurk oleks 90 kraadi, tähendaks see, et väli asuks piki pinda samal tasapinnal ja ükski väljajoon ei läbiks silmust ega põhjustaks voogu. Seejärel suurendab voo hulk seda lähemal, kui nurk välja ja normaalse vahel jõuab 0-ni. Täppprodukt võimaldab meil kindlaks teha, kui suur osa väljast on pinna suhtes normaalses suunas ja aitab seega vooge kaasa.
Vektorprojektsioon ja punkttoode
Varasemates lõikudes mainiti, et punkttoote võib mõelda ühe vektori projitseerimisele teisele ja seejärel nende suuruse korrutamisele. Iseenesest ei tohiks olla üllatav, et punktproduktist saab tuletada vektori projektsiooni valemi.
Vektori projitseerimiseksavektorileb, võtame punkttooteakoosühikvektorsuunasbja korrutage see skalaarne tulemus sama ühikvektoriga.
Ühikvektor on vektor, mille pikkus on 1 kindlas suunas. Ühikvektor vektori suunasbon lihtsalt vektorbjagatud selle suurusega:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Nii et see projektsioon on siis:
\ text {Projekteerimine} \ bold {a} \ text {onto} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Suur) \ bold {b}
Dot-toode kõrgemas mõõtmes
Nii nagu vektorid eksisteerivad kõrgemas dimensioonis, nii on ka punktprodukt. Kujutage ette, kuidas laps jälle rongi lükkab. Oletame, et ta lükkab raja alla nii allapoole kui ka nurga all. Standardses koordinaatsüsteemis oleks jõu- ja nihkevektoreid vaja kujutada kolmemõõtmelistena.
Sissenmõõtmete järgi on punkttoote määratletud järgmiselt:
\ bold {a \ cdot b} = \ overet {n} {\ alamhulk {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Kõik varasemad samad punktitoote omadused kehtivad endiselt ja koosinus seadus annab jälle seose:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ teeta)
Kui iga vektori suurus leitakse järgmise abil, on see taas kooskõlas Pythagorase teoreemiga:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Kuidas leida punkttootet kolmes mõõtmes
Näide 1:Täppprodukt on eriti kasulik, kui on vaja leida kahe vektori vaheline nurk. Oletame näiteks, et tahame kindlaks määrata nende vahelise nurgaa= (2, 3, 2) jab= (1, 4, 0). Isegi kui visandate need kaks vektorit kolmes ruumis, võib olla väga keeruline oma pead geomeetria ümber mähkida. Kuid matemaatika on üsna lihtne, kasutades asjaolu, et:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ tähendab \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ paks {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big)
Seejärel arvutatakse punkti korrutisajab:
\ bold {a \ cdot b} = 2 korda1 + 3 korda4 + 2 korda0 = 14
Ja arvutades iga vektori suurused:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
Ja lõpuks ühendades kõik sisse, saame:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {14} {4.12 \ korda 4.12} \ Big) = \ boxed {34,4 \ kraadi}
Näide 2:Positiivne laeng asub koordinaadipunktis (3, 5, 4) kolmemõõtmelises ruumis. Millises punktis mööda joont, mis osutab vektori suunasa= (6, 9, 5) kas elektriväli on suurim?
Lahendus: Oma teadmistest, kuidas elektrivälja tugevus on seotud vahemaaga, teame, et punkt positiivsele laengule kõige lähemal oleval joonel on koht, kus väli saab olema tugevaim. Punkttoote teadmiste põhjal võime arvata, et projektsioonivalemi kasutamine on siin mõttekas. See valem peaks andma meile vektori, mille tipp on täpselt otsitavas punktis.
Peame arvutama:
\ text {Projection of} (3, 5, 4) \ text {onto} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Suur) \ bold {a}
Selleks laseb kõigepealt leida |a|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Seejärel punkttoote:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 korda6 + 5 korda9 + 4 korda5 = 83
Jagades selle |a|2 annab 83/142 = 0,585. Korrutades siis selle skalaariaannab:
0,585 \ bold {a} = 0,585 \ korda (6,9,5) = (3.51,5,27,2,93)
Seega on punkt piki joont, kus väli on kõige tugevam (3.51, 5.27, 2.93).
