Siinuse ja koosinuse mõistete valdamine on trigonomeetria lahutamatu osa. Kuid kui need ideed on teie vöö all, saavad neist trigonomeetria ja hiljem ka arvutuse muude kasulike tööriistade ehituskivid. Näiteks on "koosinus seadus" spetsiaalne valem, mille abil saate teada kolmnurga puuduva külje, kui teate kahe teise külje pikkus pluss nende omavaheline nurk või kolmnurga nurkade leidmine, kui teate kõiki kolme küljed.
Kosinuse seadus
Kosinusseadus on mitmes versioonis, sõltuvalt sellest, milliste kolmnurga nurkade või külgedega te tegelete:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
Mõlemal juhula, bjacon kolmnurga küljed jaA, BvõiCon sama tähe külje vastas olev nurk. NiisiisAon vastaskülje nurka, Bon vastaskülje nurkbjaCon vastaskülje nurkc. See on võrrandi vorm, mida kasutate, kui leiate kolmnurga ühe külje pikkuse.
Kosinusseaduse saab ümber kirjutada ka versioonides, mis hõlbustavad kolmnurga kolme nurga leidmist, eeldades, et teate kõigi kolmnurga kolme külje pikkust:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Külje jaoks lahendamine
Kolmnurga külje lahendamiseks koosinusseaduse kasutamiseks vajate kolme teavet: kolmnurga kahe teise külje pikkused ja nende vaheline nurk. Valige valemi versioon, kus pool, mille soovite leida, asub võrrandist vasakul ja juba olemasolev teave on paremal. Nii et kui soovite leida külje pikkusta, kasutaksite versiooni
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Asendage kahe teadaoleva külje ja nende vahelise nurga väärtused valemisse. Kui teie kolmnurgal on teada küljedbjacmis mõõdavad vastavalt 5 ühikut ja 6 ühikut ning nende vaheline nurk on 60 kraadi (mida võib ka radiaanides väljendada kui π / 3), oleksite:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Kosinuse väärtuse otsimiseks kasutage tabelit või oma kalkulaatorit; sel juhul cos (60) = 0,5, andes teile võrrandi:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Lihtsustage 2. sammu tulemust. See annab teile:
a ^ 2 = 25 + 36-30
Mis omakorda lihtsustab:
a ^ 2 = 31
Lahenduse lõpetamiseks võtke mõlema külje ruutjuura. See jätab teile:
a = \ sqrt {31}
Ehkki saate väärtuse √31 (see on 5,568) hindamiseks kasutada diagrammi või oma kalkulaatorit, lubatakse teil sageli - ja isegi soovitatakse - jätta vastus täpsemasse radikaalsesse vormi.
Nurga jaoks lahendamine
Kolmnurga nurkade leidmiseks võite rakendada sama protsessi, kui teate selle kõiki kolme külge. Seekord valite valemi versiooni, mis asetab puuduva või "ei tea seda" nurga võrdusmärgi vasakule küljele. Kujutage ette, et soovite leida nurga C mõõtme (mis on meeles, et see on määratletud nurga vastaspoolena)c). Kasutaksite seda valemi versiooni:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Asendage teadaolevad väärtused - seda tüüpi probleemide korral tähendab see kõigi kolmnurga külgede pikkusi - võrrandisse. Näiteks olgu teie kolmnurga küljeda= 3 ühikut,b= 4 ühikut jac= 25 ühikut. Nii et teie võrrand saab:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Kui olete saadud võrrandit lihtsustanud, on teil:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
või lihtsalt cos (C) = 0.
Arvutage pöördkoosinus või kaarkosinus 0, mida sageli tähistatakse kui cos-1(0). Või teisisõnu, millise nurga koosinus on 0? Selle väärtuse tagastavad tegelikult kaks nurka: 90 kraadi ja 270 kraadi. Kuid definitsiooni järgi teate, et kolmnurga iga nurk peab olema väiksem kui 180 kraadi, nii et valikuna jääb ainult 90 kraadi.
Nii et teie puuduva nurga mõõt on 90 kraadi, mis tähendab, et juhtute tegelema täisnurga kolmnurgaga, kuigi see meetod töötab ka mitte-täisnurkse kolmnurgaga.