Geomeetrias on radiaan ühik, mida kasutatakse nurkade mõõtmiseks. Radiaan pärineb ringi raadiuse pikkusest. Ringi ümbermõõdu segment, mis vastab kahe raadiusjoonega tehtud nurgale, teeb kaare. Selle kaare tekitatud nurk, kui tõmmate joone selle algus- ja lõpp-punktist ringi keskele, on üks radiaan. Kuigi radiaan võib alguses tunduda veider ja keeruline, lihtsustab see matemaatika ja füüsika võrrandeid.
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
Geomeetrias on radiaan ringil põhinev ühik, mida kasutatakse nurkade mõõtmiseks. See hõlbustab matemaatika kõrgemat tüüpi arvutusi.
Kraadid vs. Radiaanid
Väljaspool füüsikat ja edasijõudnut matemaatikat on kraad tavaliselt nurkade mõõtmiseks tuttavamad üksused. Näiteks ringil on 360 kraadi, kolmnurgal 180 ja täisnurgal 90 kraadi. Seevastu täisringil on 2 × π (pi) radiaani, kolmnurgal π radiaani ja täisnurgal π / 2 radiaani. Ringil on täisarv kraade, samas kui radiaanides on see väärtus irratsionaalne arv, nii et radiaanid võivad esmalt õhetama tunduda kummalised. Teisest küljest võite kraadi murdarvud väljendada kümnendkohana või minutite, sekundite ja kümnendkohtadena, mida kasutate ka ajaga, nii et kraadil on omaette küsimused.
Lihtsam ja raskem
Kraadimõõtmisi on tavaliselt lihtsam aritmeetika ja trigonomeetria korral kasutada kui radiaane; nurga väljendamisel peate harva tegelema π murdudega. Kuid arvutuse ja muu edasijõudnud matemaatika jaoks selgub, et radiaanid on lihtsamad. Näiteks siinusfunktsiooni võimsuse seeria radiaanides on järgmine:
\ sin (x) = x - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ frac {x ^ 7} {7!} + \ frac {x ^ 9 } {9!} + ...
Kraadides näeb funktsioon välja järgmine:
\ sin (x) = (π × x / 180) - \ frac {(π × x / 180) ^ 3} {3!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 5} {5!} - \ frac {(π × x / 180) ^ 7} {7!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 9} {9!} + ...
Pange tähele, et selle võimsuse rea korral peate korrata „π ×x/ 180 ”iga termini kohta - palju lisakirjutamist ja arvutamist võrreldes korralikumaga, kompaktsem vaste radiaanides. Radiaan tuleneb pigem ringi loomulikust geomeetriast kui jagamisest suvalise arvuga, nagu seda teevad kraadid. Kuna radiaanid muudavad paljusid arvutusi lihtsamaks, arvavad matemaatikud, et üksus on looduslikum kui kraad.
Kasutamine radiaanide jaoks
Lisaks astmereale, nagu siinusfunktsiooni näide, näete matemaatikas radiaane, mis hõlmavad arvutust ja diferentsiaalvõrrandeid. Näiteks kui kasutate radiaane, on siinusfunktsiooni tuletis sin (x), on lihtsalt koosinus, cos (x). Kraadides aga patu tuletis (x) on tülikam (π ÷ 180) × cos (x). Matemaatikas edenedes muutuvad probleemid raskemaks ning lahendused nõuavad palju rohkem arvutusliine ja algebrat. Radiaanid säästavad palju tarbetut lisakirjutamist ja vähendavad vigade tekkimise võimalust.
Füüsikas kasutatakse lainete sageduse ja objektide pöörlemiskiiruse valemites väikse tähega oomega,ω, Mis on mugav kiirus „2 × π × radiaan sekundis”.
Kraadide teisendamine radiaanideks
Valemid kraadide teisendamiseks radiaanideks ja tagasi on lihtsad. Nurkade teisendamiseks kraadides radiaanideks korrutage nurk π-ga ja jagage seejärel 180-ga. Näiteks on ring 360 kraadi. Korrutades π-ga, saab 360π; siis jagage 180-ga ja saate 2π radiaani. Radiaanidest kraadidesse teisendamiseks korrutage see 180-ga ja jagage seejärel π-ga. Näiteks teisendage täisnurk, π ÷ 2 radiaani. Korrutage 90π saamiseks 180-ga ja jagage seejärel 90-ga tulemuse saamiseks π-ga.