Matemaatikas on arvu vastastikune arv number, mis algarvuga korrutatuna annab 1. Näiteks muutuja x vastastikune väärtus on 1 /x, sest
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
Selles näites 1 /xon vastastikune identiteetx, ja vastupidi. Trigonomeetrias saab täisnurkse kolmnurga ükskõik millist mitte-90-kraadist nurka määratleda siinuste, koosinuste ja puutujate vaheliste suhetega. Rakendades vastastikuste identiteetide mõistet, määravad matemaatikud veel kolm suhet. Nende nimed on kosekant, sekant ja kotangent. Kosekant on siinuse vastastikune identiteet, koosinuse koosseis ja puutangu kotangent.
Kuidas teha kindlaks vastastikused identiteedid
Mõelge nurga allaθ, mis on täisnurkse kolmnurga üks kahest mitte-90-kraadisest nurgast. Kui nurga vastas oleva kolmnurga külje pikkus on "b, "nurga külgneva ja hüpoteenustega vastassuunalise külje pikkus on"a"ja hüpotenuusi pikkus on"r, "saame nende pikkuste järgi määratleda kolm peamist trigonomeetrilist suhet.
\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {kosinus} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangent} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Patu vastastikune identiteetθpeab olema võrdne 1 / pat θ, kuna see on arv, mis korrutatuna patugaθ, toodab 1. Sama kehtib cos-i kohtaθja päevitamaθ. Matemaatikud annavad neile vastastikustele nimed vastavalt: kosekant, sekant ja kotangent. Definitsiooni järgi:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {kotangent} θ = \ võrevoodi θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Neid vastastikuseid identiteete saate täisnurga kolmnurga külgede pikkuste järgi määratleda järgmiselt:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ võrevoodi θ = \ frac {a} {b}
Järgmised seosed kehtivad mis tahes nurga korralθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \ tan \ tan \ × \ võrevoodi θ = 1
Kaks muud trigonomeetrilist identiteeti
Kui teate nurga siinust ja koosinust, võite tuletada puutuja. See on tõsi, sest
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {ja} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, so} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Kuna see on tan θ määratlus, järgneb järgmine identiteet, mida nimetatakse jagatisidentiteediks:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ võrevoodi θ
Pythagorase identiteet tuleneb asjaolust, et mis tahes külgedega täisnurga kolmnurga puhulajabja hüpotenuusr, vastab tõele järgmine:a2 + b2 = r2. Terminite ümberkorraldamine ja siinuse ja koosinus koosseisude määramine jõuab järgmise avaldiseni:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Kui sisestate ülaltoodud avaldisesse siinuse ja koosinuse vastastikused identiteedid, järgneb veel kaks olulist seost:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ võrevoodi ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ