Enamik inimesi mäletabPythagorase teoreemalgajate geomeetriast - see on klassika. See on
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
kusa, bjacon täisnurga kolmnurga küljed (con hüpotenuus). Noh, seda teoreemi saab trigonomeetria jaoks ka ümber kirjutada!
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
Pythagorase identiteedid on võrrandid, mis kirjutavad Pythagorase teoreemi trig-funktsioonide tähenduses.
PeaminePythagorase identiteedidon:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ võrevoodi ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Pythagorase identiteedid on näitedtrigonomeetrilised identiteedid: võrdsused (võrrandid), mis kasutavad trigonomeetrilisi funktsioone.
Miks see oluline on?
Pythagorase identiteedid võivad olla keeruliste trig-lausete ja võrrandite lihtsustamiseks väga kasulikud. Jätke need nüüd meelde ja saate teelt palju aega kokku hoida!
Tõestus trig-funktsioonide määratluste abil
Neid identiteete on tõestada üsna lihtne, kui mõelda trig-funktsioonide definitsioonidele. Näiteks tõestame seda
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Pidage meeles, et siinuse määratlus on vastaskülg / hüpotenuus ja koosinus külgnev külg / hüpotenuus.
Niisiis
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {vastas} ^ 2} {\ text {hüpotenuus} ^ 2}
Ja
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {kõrval} ^ 2} {\ text {hüpotenuus} ^ 2}
Saate need kaks hõlpsalt lisada, sest nimetajad on samad.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {vastas} ^ 2 + \ text {kõrval} ^ 2} {\ text {hüpotenuus} ^ 2}
Nüüd heitke veel üks pilk Pythagorase teoreemile. See ütleb sedaa2 + b2 = c2. Pidage seda meelesajabtähistage vastaskülge ja külgnevaid külgi ningctähistab hüpotenuusi.
Võrrandit saate ümber korraldada, jagades mõlemad pooledc2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Kunaa2 jab2 on vastaskülg ja külgnevad küljed jac2 on hüpotenuus, on teil samaväärne väide ülalolevaga, vastandiga2 + külgnev2) / hüpotenuus2. Ja tänu tööle koosa, b, cja Pythagorase teoreem, näete nüüd, et see lause võrdub 1-ga!
Niisiis
\ frac {\ text {vastas} ^ 2 + \ text {kõrval} ^ 2} {\ text {hüpotenuus} ^ 2} = 1
ning seetõttu:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(Ja parem on see korralikult välja kirjutada: patt2(θ) + cos2(θ) = 1).
Vastastikused identiteedid
Veedame mõned minutidvastastikused identiteedidsamuti. Pidage meeles, etvastastikuneon jagatud teie numbriga ("üle") - tuntud ka kui pöördarv.
Kuna kosekant on siinuse vastastikune:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Samuti võite mõelda kosekandi peale siinuse määratluse abil. Näiteks siinus = vastaskülg / hüpotenuus. Selle pöördvõrdeks saab tagurpidi pööratud murd, mis on hüpotenuus / vastaskülg.
Samamoodi on koosinuse vastastikune eraldatud, nii et see on määratletud järgmiselt
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {või} \ frac {\ text {hüpotenuus}} {\ text {külgnev külg}}
Ja puutuja vastastikune on kotangent, nii et
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {külgnev külg}} {\ text {vastaskülg}}
Sekant- ja kosekanti kasutavate Pythagorase identiteetide tõestused on siinuse ja koosinuse omadega väga sarnased. Võrrandite tuletamiseks võite kasutada ka "vanema" võrrandit sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Jagage mõlemad pooled cos-ga2(θ), et saada identiteet 1 + tan2(θ) = sekund2(θ). Jagage mõlemad pooled patuga2(θ), et saada identiteet 1 + võrevoodi2(θ) = csc2(θ).
Edu ja pange kindlasti meelde kolm Pythagorase identiteeti!
