Kahe numbri suurima ühise teguri ehk GCF leidmine on matemaatikas paljudes olukordades kasulik, eriti aga murdude lihtsustamisel. Kui teil on sellega probleeme või leiate ühisnimetajaid, aitab kahe meetodi õppimine ühiste tegurite leidmiseks saavutada seda, mida kavatsete teha. Esiteks on siiski hea mõte õppida faktorite põhitõdesid; siis saate ühiste tegurite leidmiseks vaadata kahte lähenemisviisi. Lõpuks saate vaadata, kuidas rakendada oma teadmisi murdosa lihtsustamiseks.
Mis on tegur?
Tegurid on numbrid, mille korrutate kokku, et saada teine number. Näiteks 2 ja 3 on tegurid 6, kuna 2 × 3 = 6. Samamoodi on 3 ja 3 tegurid 9, kuna 3 × 3 = 9. Nagu võite teada, on algarvud arvud, millel pole muid tegureid peale nende endi ja 1. Seega on 3 algarv, sest ainsad kaks täisarvu (täisarvu), mis saavad vastuseks 3 anda, on 3 ja 1. Samamoodi on 7 algarv ja 13.
Seetõttu on sageli kasulik arv jaotada peamisteks teguriteks. See tähendab teise numbri kõigi algarvutegurite leidmist. Põhimõtteliselt jagab see numbri oma põhilisteks „ehitusplokkideks“, mis on kasulik samm kahe numbri suurima ühisteguri leidmine ja on ka ruudu lihtsustamisel hindamatu juured.
Suurima ühise teguri leidmine: esimene meetod
Lihtsaim meetod kahe arvu suurima ühise teguri leidmiseks on lihtsalt loetleda iga numbri kõik tegurid ja otsida suurimat arvu, mida mõlemad jagavad. Kujutage ette, et soovite leida kõrgeima ühise teguri 45 ja 60. Kõigepealt vaadake erinevaid numbreid, mida saate korrutada, et saada 45.
Lihtsaim viis on alustada neist kahest, millest teate, et see töötab isegi algarvu puhul. Sel juhul teame 1 × 45 = 45, seega teame, et 1 ja 45 on tegurid 45. Need on esimesed ja viimased tegurid 45-st, nii et saate lihtsalt sealt täita. Järgmisena uurige, kas 2 on tegur. See on lihtne, sest iga paarisarv jagub 2-ga ja paaritu arv mitte. Nii et me teame, et 2 pole 45. Aga 3? Peaksite suutma märgata, et 3 on tegur 45, sest 3 × 15 = 45 (võite alati tugineda sellele, mida te ise teadke seda välja töötada, näiteks teate, et 3 × 12 = 36 ja sellele kolme lisamine viib teid 45).
Kas järgmine on 4 tegur 45? Ei - sa tead, et 11 × 4 = 44, nii et see ei saa olla! Järgmine, kuidas on lood 5-ga? See on veel üks lihtne, sest iga 0 või 5-ga lõppev arv jagub 5-ga. Ja selle abil saate hõlpsalt märgata, et 5 × 9 = 45. Kuid 6 pole hea, sest 7 × 6 = 42 ja 8 × 6 = 48. Sellest näete ka, et 7 ja 8 ei ole 45-tegurid. Me juba teame, et 9 on ja on lihtne mõista, et 10 ja 11 pole tegurid. Jätkake seda protsessi ja märkate, et 15 on tegur, kuid mitte midagi muud.
Seega on tegurid 45: 1, 3, 5, 9, 15 ja 45.
60-aastaselt läbite täpselt sama protsessi. Seekord on arv paaris (nii et teate, et 2 on tegur) ja jagub 10-ga (seega on mõlemad tegurid 5 ja 10), mis muudab asja natuke lihtsamaks. Pärast protsessi uuesti läbimist peaksite nägema, et tegurid 60 on: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ja 60.
Nende kahe loendi võrdlemine näitab, et 15 on suurim ühine tegur 45 ja 60. See meetod võib olla aeganõudev, kuid see on lihtne ja töötab alati. Võite alustada ka kõigist suurtest ühistest teguritest, mida saate kohe märgata, ja seejärel lihtsalt otsida iga numbri kõrgemaid tegureid.
Suurima ühise teguri leidmine: teine meetod
Teine meetod kahe numbri jaoks GCF leidmiseks on kasutada algtegureid. Põhifaktoriseerimise protsess on veidi lihtsam ja struktureeritum kui iga teguri leidmine. Vaatame 42 ja 63 protsessi läbi.
Põhifaktoriseerimise protsess hõlmab põhimõtteliselt numbri jaotamist, kuni teile jäävad ainult algarvud. Parim on alustada väikseima algarvuga (kaks) ja töötada sealt edasi. Nii et 42 puhul on lihtne mõista, et 2 × 21 = 42. Siis töötage alates 21-st: kas 2 on tegur? Ei. Kas 3? Jah! 3 × 7 = 21 ning 3 ja 7 on mõlemad algarvud. See tähendab, et 42 peamised tegurid on 2, 3 ja 7. Esimese “pausi” korral kasutati 21 saavutamiseks 2 ja teises jagati see 3-ks ja 7-ks. Seda saate kontrollida, korrutades kõik oma tegurid kokku ja kontrollides, kas saate algse numbri: 2 × 3 × 7 = 42.
63 puhul pole 2 tegur, vaid 3, sest 3 × 21 = 63. Jällegi jaguneb 21 kolmeks ja 7-ks - mõlemad peamised - nii et teate peamisi tegureid! Kontrollimine näitab, et 3 × 3 × 7 = 63, vastavalt vajadusele.
Suurima ühise teguri leiate, vaadates, millised algtegurid on kahel arvul ühised. Sel juhul on 42-l 2, 3 ja 7 ning 63-l on 3, 3 ja 7. Neil on 3 ja 7 ühist. Suurima ühise teguri leidmiseks korrutage kõik ühised peamised tegurid kokku. Sel juhul on 3 × 7 = 21, seega on 21 suurim ühine tegur 42 ja 63.
Eelmise näite saab ka sel viisil kiiremini lahendada. Kuna 45 jagub kolmega (3 × 15 = 45) ja 15 jagub ka kolmega (3 × 5 = 15), on 45 peamised tegurid 3, 3 ja 5. 60 puhul on see jagatav kahega (2 × 30 = 60), 30 jagub ka kahega (2 × 15 = 30) ja siis jääb järele 15, mis teame, et põhiteguriteks on kolm ja viis, lahkudes 2, 2, 3 ja 5. Kahte loendit võrreldes on kolm ja viis ühised peamised tegurid, seega on suurim ühine tegur 3 × 5 = 15.
Juhul, kui peamisi tegureid on kolm või enam, korrutate need kõik ühtemoodi, et leida suurim ühine tegur.
Murdude lihtsustamine ühiste teguritega
Kui teile esitatakse murdosa nagu 32/96, võib see teha kõik sellele järgnevad arvutused väga keerukaks, kui te ei suuda leida murdosa lihtsustamiseks. Madalaima ühise teguri 32 ja 96 leidmine annab teile numbri, millega jagada, et saada lihtsam murd. Sel juhul:
32 = 2 × 16 \\ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \\ \ text {So} 32 = 2 ^ 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
96 puhul annab protsess:
96 = 48 × 2 \\ 48 = 24 × 2 \\ 24 = 12 × 2 \\ 12 = 6 × 2 \\ 6 = 3 × 2 \\ \ text {So} 96 = 2 ^ 5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Peaks olema selge, et 25 = 32 on suurim ühine tegur. Murdosa mõlema osa jagamine 32-ga annab:
\ frac {32} {96} = \ frac {1} {3}
Ühiste nimetajate leidmine on sarnane protsess. Kujutage ette, et peate lisama murrud 15/45 ja 40/60. Esimesest näitest teame, et 15 on suurim ühine tegur 45 ja 60, nii et võime neid kohe väljendada kui 5/15 ja 10/15. Kuna 3 × 5 = 15 ja mõlemad loendurid jagunevad ka viieks, saame jagada mõlema fraktsiooni mõlemad osad viieks, saades 1/3 ja 2/3. Nüüd on neid palju lihtsam lisada ja näha
\ frac {15} {45} + \ frac {40} {60} = 1