Kujutage ette, et juhatate kahurit ja kavatsete purustada vaenlase lossi müürid, et teie armee saaks sisse tungida ja võitu nõuda. Kui teate, kui kiiresti pall kahurist lahkudes liigub, ja teate, kui kaugel asuvad seinad, siis millise stardinurga abil peate kahurit tulistama, et edukalt seintesse lüüa?
See on näide mürsu liikumisprobleemist ning selle ja paljusid sarnaseid ülesandeid saate lahendada kinemaatika konstantse kiirenduse võrrandite ja mõne algebra abil.
Mürsu liikumineon see, kuidas füüsikud kirjeldavad kahemõõtmelist liikumist, kus ainus kiirendus, mida kõnealune objekt kogeb, on gravitatsioonist tulenev pidev allapoole suunatud kiirendus.
Maa pinnal pidev kiirendusaon võrdneg= 9,8 m / s2, ja mürskude liikumise objekt on seesvabalangussee on ainus kiirenduse allikas. Enamasti kulgeb see parabooli teed, nii et liikumisel on nii horisontaalne kui ka vertikaalne komponent. Ehkki sellel oleks tegelikus elus (piiratud) mõju, ignoreeritakse õnneks enamikus keskkooli füüsika mürskude liikumisprobleemides õhutakistuse mõju.
Mürsu liikumisprobleeme saate lahendada väärtuse abilgja veel mingit põhiteavet antud olukorra kohta, näiteks mürsu algkiirus ja liikumissuund. Nende probleemide lahendamise õppimine on enamiku sissejuhatavate füüsikatundide läbimiseks hädavajalik ning see tutvustab teile kõige olulisemaid mõisteid ja tehnikaid, mida vajate ka hilisematel kursustel.
Mürsu liikumisvõrrandid
Mürsu liikumise võrrandid on kinemaatika pidevad kiirendusvõrrandid, sest raskuskiirendus on ainus kiirenduse allikas, mida peate arvestama. Neli peamist võrrandit, mida peate mürskude liikumisprobleemide lahendamiseks, on:
v = v_0 + juures \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} juures ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Siin,vtähistab kiirust,v0 on algkiirus,aon kiirendus (mis on võrdne kiiruse allapoole kiirendusegagkõigis mürskude liikumisprobleemides),son nihe (lähteasendist) ja nagu alati on teil aega,t.
Need võrrandid on tehniliselt ainult ühe dimensiooni jaoks ja neid võiks tegelikult esitada vektorite suurustega (sealhulgas kiirus)v, algkiirusv0 ja nii edasi), kuid praktikas saate neid versioone lihtsalt eraldi kasutadax-suund ja üks kordy-suund (ja kui teil on kunagi olnud kolmemõõtmeline probleem, siisz-suund ka).
Oluline on meeles pidada, et need onkasutatakse ainult pideva kiirenduse jaoks, mis muudab need ideaalseks olukordade kirjeldamiseks, kus raskusjõu mõju on ainus kiirendus, kuid ei sobi paljudesse reaalsetes olukordades, kus peavad olema lisajõud kaalutakse.
Põhiolukordades on see kõik, mida peate objekti liikumist kirjeldama, kuid vajadusel saate lisada ka muud tegurid, nagu näiteks mürsu laskmise kõrgus või isegi lahendada mürsu kõrgeim punkt selle peal tee.
Mürskude liikumisprobleemide lahendamine
Nüüd, kui olete näinud mürsu liikumisvalemi nelja versiooni, mida peate kasutama probleemide lahendamiseks võite hakata mõtlema strateegiale, mida kasutate mürsu liikumise lahendamiseks probleem.
Põhiline lähenemisviis on jagada probleem kaheks osaks: üks horisontaalse ja teine vertikaalse liikumise jaoks. Seda nimetatakse tehniliselt horisontaalseks komponendiks ja vertikaalseks komponendiks ning mõlemal neist on vastav komplekt suurused, näiteks horisontaalne kiirus, vertikaalne kiirus, horisontaalne nihe, vertikaalne nihe ja nii edasi.
Selle lähenemisviisi korral saate kasutada kinemaatilisi võrrandeid, märkides selle ajaton sama nii horisontaalsete kui ka vertikaalsete komponentide puhul, kuid näiteks algkiirusel on algse vertikaalse kiiruse ja esialgse horisontaalse kiiruse jaoks erinevad komponendid.
Oluline on mõista, et kahemõõtmelise liikumise korralmis tahesliikumisnurga saab jagada horisontaalseks ja vertikaalseks komponendiks, kuid millal seda tehes on kõnesoleval võrrandil üks horisontaalne versioon ja üks vertikaalne versioon.
Õhutakistuse mõju tähelepanuta jätmine lihtsustab mürskude liikumisprobleeme massiliselt, kuna horisontaalsuunas pole neid kunagi kiirendus mürsu liikumise (vabalangemise) probleemis, kuna gravitatsiooni mõju toimib ainult vertikaalselt (st. Maa).
See tähendab, et horisontaalne kiiruskomponent on lihtsalt ühtlane kiirus ja liikumine peatub alles siis, kui gravitatsioon viib mürsu maapinnale. Seda saab kasutada lennuaja määramiseks, kuna see sõltub täielikulty-suunaline liikumine ja selle saab välja töötada täielikult vertikaalse nihke (st ajatkui vertikaalne nihe on null, ütleb teile lennu aja).
Trigonomeetria mürskude liikumisprobleemides
Kui kõnealune probleem annab teile stardinurga ja algkiiruse, peate horisontaalse ja vertikaalse kiiruse komponentide leidmiseks kasutama trigonomeetriat. Kui olete selle teinud, saate probleemi lahendamiseks kasutada eelmises jaotises kirjeldatud meetodeid.
Põhimõtteliselt loote täisnurga kolmnurga, mille hüpotenuus on kaldus nurga all (θ) ja kiiruse suurus pikkusena ning seejärel külgnev külg on kiiruse horisontaalkomponent ja vastaskülg vertikaalne kiirus.
Joonistage täisnurkne kolmnurk vastavalt juhistele ja näete, et horisontaalsed ja vertikaalsed komponendid leiate trigonomeetriliste identiteetide abil.
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {kõrval}} {\ text {hüpotenuus}}
\ text {patt} \; θ = \ frac {\ text {vastas}} {\ text {hüpotenuus}}
Nii saab neid ümber korraldada (ja vastupidise = -gavy ja külgnev =vx, st vastavalt vertikaalse kiiruse ja horisontaalse kiiruse komponendid ning hüpotenuus =v0, algkiirus), et anda:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 patt (θ)
See on kogu trigonomeetria, mida peate tegema mürsu liikumisprobleemide lahendamiseks: stardinurga ühendamine võrrand, kasutades siinus- ja koosinusfunktsioone oma kalkulaatoris ning korrutades tulemuse algarvuga mürsk.
Nii et näitena selle tegemiseks, algkiirusega 20 m / s ja stardinurgaga 60 kraadi, on komponendid järgmised:
\ begin {joondatud} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ text {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ text {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ text {m / s} \ end {joondatud}
Näide mürsu liikumisprobleemist: plahvatav ilutulestik
Kujutage ette, et ilutulestikul on kaitsme, mis on kavandatud nii, et see plahvatab trajektoori kõrgeimas punktis, ja see käivitatakse algkiirusega 60 m / s horisontaali suhtes 70 kraadi nurga all.
Kuidas sa välja töötaksid, millise kõrgusegahsee plahvatab kell? Ja mis oleks aeg stardist alates, kui see plahvatab?
See on üks paljudest mürsu maksimaalse kõrgusega seotud probleemidest ja nende lahendamise nipp on märkida, et maksimaalsel kõrgusel ony-kiiruse komponent on hetkeks 0 m / s. Ühendades selle väärtuse domeeni jaoksvy ja valides kinemaatilistest võrranditest kõige sobivama, saate selle ja kõigi sarnaste probleemidega lihtsalt toime tulla.
Esiteks, vaadates kinemaatilisi võrrandeid, hüppab see välja (lisades tellimusi, et näidata, et töötame vertikaalsuunas):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
See võrrand on ideaalne, kuna teate juba kiirendust (ay = -g), algkiirus ja stardinurk (nii et saate välja töötada vertikaalse komponendivy0). Kuna otsime väärtustsy (st kõrgush) millalvy = 0, võime lõpliku vertikaalse kiiruskomponendi asendada nulliga ja korraldada uuestisy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Kuna on mõttekas helistada ülespooleyja kuna raskusjõu tõttu toimuv kiirendusgon suunatud allapoole (s.t.ysuund), saame muutaay jaoks -g. Lõpuks helistaminesy kõrgush, saame kirjutada:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Nii et ainus asi, mida peate probleemi lahendamiseks välja töötama, on algkiiruse vertikaalne komponent, mille saate teha eelmise lõigu trigonomeetrilise lähenemisviisi abil. Seega annab küsimuselt saadud teave (60 m / s ja 70 kraadi horisontaalse stardini):
\ algus {joondatud} v_ {0y} & = 60 \; \ tekst {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ tekst {m / s} \ lõpp {joondatud}
Nüüd saate lahendada maksimaalse kõrguse:
\ alusta {joondatud} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ end {joondatud}
Nii plahvatab ilutulestik umbes 162 meetri kaugusel maapinnast.
Näite jätkamine: lennu aeg ja läbitud vahemaa
Pärast puhtalt vertikaalsel liikumisel põhineva mürsu liikumisprobleemi põhitõdede lahendamist saab ülejäänud probleemi hõlpsasti lahendada. Kõigepealt võib kaitsme lõhkemiseni kulunud aja leida ühe muu püsikiirenduse võrrandi abil. Valikuid vaadates järgmine väljend:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
on aegat, mida soovite teada; nihe, mida teate lennu maksimaalse punkti kohta; algne vertikaalne kiirus; ja kiirus maksimaalse kõrguse ajal (mis on teada null). Nii et selle põhjal saab võrrandi ümber korraldada, et anda avaldis lennuaja kohta:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Nii et väärtuste sisestamine ja lahendaminetannab:
\ begin {joondatud} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ text {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5.75 \; \ text {s} \ end {joondatud}
Nii plahvatab ilutulestik 5,75 sekundit pärast käivitamist.
Lõpuks saate hõlpsalt määrata läbitud horisontaalse vahemaa esimese võrrandi põhjal, mis (horisontaalsuunas) ütleb:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Kuid märkides, et kiirendust ei toimux-suund, see on lihtsalt:
v_x = v_ {0x}
Tähendab, et kiirusxsuund on kogu ilutulestiku teekonna jooksul sama. Arvestades sedav = d/t, kusdon läbitud vahemaa, seda on lihtne mõistad = vtja nii antud juhul (koossx = d):
s_x = v_ {0x} t
Nii et saate asendadav0x varasema trigonomeetrilise avaldisega sisestage väärtused ja lahendage:
\ begin {joondatud} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5.75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {joondatud}
Nii sõidab see enne plahvatust umbes 118 m.
Täiendav mürsu liikumisprobleem: Dud ilutulestik
Lisaprobleemi lahendamiseks kujutage ette ilutulestikku eelmise näite põhjal (algkiirus 60 m / s 70 kraadi horisontaalsuunas) ei suutnud oma parabooli tipus plahvatada ja maandub selle asemel maapinnale lõhkemata. Kas saaksite sellisel juhul välja arvutada kogu lennuaja? Kui kaugel maandumiskohast horisontaalsuunas maandub, ehk teisisõnu, mis see onvahemikmürsu?
See probleem toimib põhimõtteliselt samamoodi, kus asuvad kiiruse ja nihke vertikaalsed komponendid peamised asjad, mida peate lennuaja määramiseks arvestama, ja selle põhjal saate määrata vahemik. Selle asemel, et lahendust üksikasjalikult läbi töötada, saate selle eelmise näite põhjal ise lahendada.
Mürsu vahemikule on olemas valemid, mida saate otsida või tuletada konstantse kiirenduse võrranditest, kuid see pole nii tõesti vajalik, sest teate juba mürsu maksimaalset kõrgust ja sellest hetkest alates on see lihtsalt vabalangemises raskusjõud.
See tähendab, et saate määrata aja, mille ilutulestik maale tagasi kukub, ja lisada see kogu lennuaja määramiseks maksimaalsele kõrgusele lennuaega. Sellest ajast alates on see sama protsess, kui vahemiku määramiseks kasutatakse konstantset kiirust horisontaalsuunas koos lennuajaga.
Näidake, et lennu aeg on 11,5 sekundit ja kaugus 236 m, märkides, et peate seda tegema arvutage kiiruse vertikaalne komponent vahepealsena maapinnale põrkavas punktis samm.