Una vez que comienzas a resolver ecuaciones algebraicas que involucran polinomios, la habilidad de reconocer formas de polinomios especiales y fáciles de factorizar se vuelve muy útil. Uno de los polinomios de "factor fácil" más útiles para localizar es el cuadrado perfecto, o el trinomio que resulta de elevar al cuadrado un binomio. Una vez que haya identificado un cuadrado perfecto, factorizarlo en sus componentes individuales suele ser una parte vital del proceso de resolución de problemas.
Antes de poder factorizar un trinomio cuadrado perfecto, debes aprender a reconocerlo. Un cuadrado perfecto puede adoptar cualquiera de dos formas
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, que es el producto de} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text {, que es el producto de} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Revisa el primer y tercer términos del trinomio. ¿Son ambos cuadrados? Si es así, averigüe de qué son cuadrados. Por ejemplo, en el segundo ejemplo del "mundo real" dado anteriormente:
y ^ 2 - 2y + 1
el terminoy2 es obviamente el cuadrado dey.El término 1 es, quizás menos obvio, el cuadrado de 1, porque 12 = 1.
Multiplica las raíces del primer y tercer términos juntos. Para continuar con el ejemplo, eso esyy 1, que te day × 1 = 1yo simplementey.
A continuación, multiplique su producto por 2. Continuando con el ejemplo, tienes 2y.
Finalmente, compare el resultado del último paso con el término medio del polinomio. ¿Se complementan? En el polinomioy2 – 2y+ 1, lo hacen. (El signo es irrelevante; también sería una coincidencia si el término medio fuera +2y.)
Debido a que la respuesta en el Paso 1 fue "sí" y el resultado del Paso 2 coincide con el término medio del polinomio, sabes que estás viendo un trinomio cuadrado perfecto.
Una vez que sepa que está viendo un trinomio cuadrado perfecto, el proceso de factorización es bastante sencillo.
Identifica las raíces, o los números al cuadrado, en el primer y tercer término del trinomio. Considere otro de sus trinomios de ejemplo que ya sabe que es un cuadrado perfecto:
x ^ 2 + 8x + 16
Obviamente, el número que se eleva al cuadrado en el primer término esX. El número que se eleva al cuadrado en el tercer término es 4, porque 42 = 16.
Piense en las fórmulas para trinomios cuadrados perfectos. Sabes que tus factores tomarán la forma (a + B)(a + B) o la forma (a – B)(a – B), dóndeayBson los números que se elevan al cuadrado en el primer y tercer término. Por lo tanto, puede escribir sus factores de esta manera, omitiendo los signos en el medio de cada término por ahora:
(a \,? \, b) (a \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
Para continuar con el ejemplo sustituyendo las raíces de su trinomio actual, tiene:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Compruebe el término medio del trinomio. ¿Tiene un signo positivo o un signo negativo (o, para decirlo de otra manera, se suma o resta)? Si tiene un signo positivo (o se está agregando), ambos factores del trinomio tienen un signo más en el medio. Si tiene un signo negativo (o se está restando), ambos factores tienen un signo negativo en el medio.
El término medio del trinomio del ejemplo actual es 8X- es positivo, por lo que ahora ha factorizado el trinomio cuadrado perfecto:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Verifique su trabajo multiplicando los dos factores juntos. Aplicar el método FOIL o primer, exterior, interior, último le da:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Simplificar esto da el resultadoX2 + 8X+ 16, que coincide con su trinomio. Entonces los factores son correctos.