Ejemplos de relaciones inversas en matemáticas

Puede observar las relaciones inversas en matemáticas de tres formas. La primera forma es considerar operaciones que se anulan entre sí. La suma y la resta son las dos operaciones más obvias que se comportan de esta manera.

Una segunda forma de ver las relaciones inversas es considerar el tipo de curvas que producen cuando grafica las relaciones entre dos variables. Si la relación entre las variables es directa, entonces la variable dependiente aumenta cuando aumenta la variable independiente, y la gráfica se curva hacia valores crecientes de ambas variables. Sin embargo, si la relación es inversa, la variable dependiente se vuelve más pequeña cuando la independiente aumenta y la gráfica se curva hacia valores más pequeños de la variable dependiente.

Ciertos pares de funciones proporcionan un tercer ejemplo de relaciones inversas. Cuando grafica funciones que son inversas entre sí en un eje x-y, las curvas aparecen como imágenes especulares entre sí con respecto a la línea x = y.

La suma es la más básica de las operaciones aritméticas y viene con un gemelo malvado, la resta, que puede deshacer lo que hace. Digamos que comienzas con 5 y agregas 7. Obtienes 12, pero si restas 7, te quedarás con el 5 con el que empezaste. La inversa de la suma es la resta, y el resultado neto de sumar y restar el mismo número es equivalente a sumar 0.

Existe una relación inversa similar entre la multiplicación y la división. El resultado neto de multiplicar y dividir un número por el mismo factor es multiplicar el número por 1, lo que lo deja sin cambios. Esta relación inversa es útil para simplificar expresiones algebraicas complejas y resolver ecuaciones.

Otro par de operaciones matemáticas inversas es elevar un número a un exponente "norte"y tomando elnortela raíz del número. La relación cuadrada es la más fácil de considerar. Si elevas al cuadrado 2, obtienes 4, y si sacas la raíz cuadrada de 4, obtienes 2. Esta relación inversa también es útil para recordar al resolver ecuaciones complejas.

Una función es una regla que produce uno, y solo uno, resultado por cada número que ingresa. El conjunto de números que ingresa se denomina dominio de la función, y el conjunto de resultados que produce la función es el rango. Si la función es directa, una secuencia de dominio de números positivos que se agranda produce una secuencia de rango de números que también se agranda.

son todas funciones directas.

Una función inversa se comporta de forma diferente. Cuando los números en el dominio aumentan, los números en el rango se vuelven más pequeños.

es la forma más simple de una función inversa. A medida que x crece, f (X) se acerca cada vez más a 0. Básicamente, cualquier función con la variable de entrada en el denominador de una fracción, y solo en el denominador, es una función inversa. Otros ejemplos incluyen

dóndenortees cualquier número,

y

dóndewes un entero cualquiera.

Un tercer ejemplo de una relación inversa en matemáticas es un par de funciones que son inversas entre sí. Como ejemplo, suponga que ingresa los números 2, 3, 4 y 5 en la función

Obtienes estos puntos: (2,5), (3,7), (4,9) y (5,11). Esta es una línea recta con pendiente 2 yy-intercepción 1.

Ahora invierta los números entre paréntesis para crear una nueva función: (5,2), (7,3), (9,4) y (11,5). El rango de la función original se convierte en el dominio de la nueva y el dominio de la función original se convierte en el rango de la nueva. También es una línea, pero su pendiente es 1/2 y suy-intercepción es −1/2. Utilizando la

forma de una línea, encuentra que la ecuación de la línea es

Esta es la inversa de la función original. Podrías derivarlo fácilmente cambiandoXyyen la función original y simplificando para obtenerypor sí mismo a la izquierda del signo igual.