Las raíces de un polinomio también se denominan ceros, porque las raíces son losXvalores en los que la función es igual a cero. Cuando se trata de encontrar realmente las raíces, tienes múltiples técnicas a tu disposición; la factorización es el método que utilizará con más frecuencia, aunque la representación gráfica también puede resultar útil.
¿Cuántas raíces?
Examine el término de mayor grado del polinomio, es decir, el término con el mayor exponente. Ese exponente es cuántas raíces tendrá el polinomio. Entonces, si el exponente más alto en su polinomio es 2, tendrá dos raíces; si el exponente más alto es 3, tendrá tres raíces; y así.
Advertencias
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Hay una trampa: las raíces de un polinomio pueden ser reales o imaginarias. Las raíces "reales" son miembros del conjunto conocido como números reales, que en este punto de tu carrera matemática son todos los números con los que estás acostumbrado a lidiar. Dominar los números imaginarios es un tema completamente diferente, así que por ahora, solo recuerda tres cosas:
- Las raíces "imaginarias" surgen cuando tienes la raíz cuadrada de un número negativo. Por ejemplo, √ (-9).
- Las raíces imaginarias siempre vienen en pares.
- Las raíces de un polinomio pueden ser reales o imaginarias. Entonces, si tiene un polinomio de quinto grado, podría tener cinco raíces reales, podría tener tres raíces reales y dos raíces imaginarias, y así sucesivamente.
Encontrar raíces por factorización: Ejemplo 1
La forma más versátil de encontrar raíces es factorizar su polinomio tanto como sea posible y luego establecer cada término en cero. Esto tiene mucho más sentido una vez que haya seguido algunos ejemplos. Considere el polinomio simpleX2 – 4X:
Un breve examen muestra que puede factorizarXde ambos términos del polinomio, lo que le da:
x (x - 4)
Establezca cada término en cero. Eso significa resolver dos ecuaciones:
x = 0
es el primer término establecido en cero, y
x - 4 = 0
es el segundo término puesto a cero.
Ya tienes la solución al primer trimestre. SiX= 0, entonces toda la expresión es igual a cero. EntoncesX= 0 es una de las raíces, o ceros, del polinomio.
Ahora, considere el segundo término y resuelva paraX. Si agrega 4 a ambos lados, tendrá:
x - 4 + 4 = 0 + 4
que se simplifica a:
x = 4
Así que siX= 4 entonces el segundo factor es igual a cero, lo que significa que todo el polinomio es igual a cero también.
Debido a que el polinomio original era de segundo grado (el exponente más alto era dos), sabes que solo hay dos raíces posibles para este polinomio. Ya los ha encontrado a ambos, así que todo lo que tiene que hacer es enumerarlos:
x = 0, x = 4
Encontrar raíces por factorización: Ejemplo 2
Aquí hay un ejemplo más de cómo encontrar raíces factorizando, usando un poco de álgebra sofisticada en el camino. Considere el polinomioX4 – 16. Un vistazo rápido a sus exponentes le muestra que debería haber cuatro raíces para este polinomio; ahora es el momento de encontrarlos.
¿Notaste que este polinomio se puede reescribir como la diferencia de cuadrados? Entonces en lugar deX4 - 16, tienes:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Lo cual, usando la fórmula para la diferencia de cuadrados, factoriza lo siguiente:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
El primer término es, nuevamente, una diferencia de cuadrados. Entonces, aunque no puede factorizar más el término de la derecha, puede factorizar el término de la izquierda un paso más:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Ahora es el momento de encontrar los ceros. Rápidamente queda claro que siX= 2, el primer factor será igual a cero y, por lo tanto, toda la expresión será igual a cero.
Del mismo modo, siX= −2, el segundo factor será igual a cero y, por lo tanto, también lo será la expresión completa.
EntoncesX= 2 yX= −2 son ambos ceros, o raíces, de este polinomio.
Pero, ¿y ese último trimestre? Debido a que tiene un exponente "2", debería tener dos raíces. Pero no puedes factorizar esta expresión usando los números reales a los que estás acostumbrado. Tendría que utilizar un concepto matemático muy avanzado llamado números imaginarios o, si lo prefiere, números complejos. Eso está mucho más allá del alcance de su práctica matemática actual, por lo que por ahora es suficiente tener en cuenta que tiene dos raíces reales (2 y -2) y dos raíces imaginarias que dejará sin definir.
Encontrar raíces graficando
También puede encontrar, o al menos estimar, raíces graficando. Cada raíz representa un punto donde la gráfica de la función cruza elXeje. Entonces, si grafica la línea y luego observa elXcoordenadas donde la línea cruza elXeje, puede insertar el estimadoXvalores de esos puntos en su ecuación y verifique si los ha obtenido correctamente.
Considere el primer ejemplo que trabajó, para el polinomioX2 – 4X. Si lo dibuja con cuidado, verá que la línea cruza elXeje enX= 0 yX= 4. Si ingresa cada uno de estos valores en la ecuación original, obtendrá:
0^2 - 4(0) = 0
entoncesX= 0 era un cero o una raíz válida para este polinomio.
4^2 - 4(4) = 0
entoncesX= 4 también es un cero válido o raíz para este polinomio. Y como el polinomio era de grado 2, sabes que puedes dejar de buscar después de encontrar dos raíces.