Cómo calcular la esfericidad

Al comparar modelos teóricos de cómo funcionan las cosas con aplicaciones del mundo real, los físicos a menudo aproximan la geometría de los objetos utilizando objetos más simples. Esto podría ser el uso de cilindros delgados para aproximar la forma de un avión o una línea delgada sin masa para aproximar la cuerda de un péndulo.

La esfericidad le brinda una forma de aproximar qué tan cerca están los objetos de la esfera. Puede, por ejemplo, calcular la esfericidad como una aproximación a la forma de la Tierra que, de hecho, no es una esfera perfecta.

Calcular la esfericidad

Al encontrar la esfericidad para una sola partícula u objeto, puede definir la esfericidad como la proporción de superficie área de una esfera que tiene el mismo volumen que la partícula u objeto al área de superficie de la partícula sí mismo. Esto no debe confundirse con la Prueba de esfericidad de Mauchly, una técnica estadística para probar suposiciones dentro de los datos.

En términos matemáticos, la esfericidad dada porΨ("psi") es:

\ Psi = \ frac {\ pi ^ {1/3} (6V_p) ^ {2/3}} {A_p}

para el volumen de la partícula u objetoVpagy área de superficie de la partícula u objetoApag. Puede ver por qué este es el caso a través de algunos pasos matemáticos para derivar esta fórmula.

Derivando la fórmula de esfericidad

Primero, encuentra otra forma de expresar el área de superficie de una partícula.

  1. As = 4πr2: Comienza con la fórmula para el área de la superficie de una esfera en términos de su radior​.
  2. (4πr2​ ​)3: Córtelo en cubos llevándolo a la potencia de 3.
  3. 43π3r6: Distribuye el exponente 3 a lo largo de la fórmula.
  4. 4π(​42π2r6): Factoriza elcolocándolo afuera usando paréntesis.
  5. 4π x 32 (42π2r6/​​32): Factorizar32.
  6. 36​​π (​​r3/3​​)2: Factoriza el exponente de 2 del paréntesis para obtener el volumen de una esfera.
  7. 36πVpag2: Reemplaza el contenido entre paréntesis con el volumen de una esfera por una partícula.
  8. As = (36Vpag2)1/3: Luego, puede sacar la raíz cúbica de este resultado para regresar al área de la superficie.
  9. 361/3π1/3Vpag2/3: Distribuye el exponente de 1/3 a lo largo del contenido entre paréntesis.
  10. π1/3(6​Vpag)2/3: Factorizar elπ1/3 del resultado del paso 9. Esto le brinda un método para expresar el área de la superficie.

Luego, a partir de este resultado de una forma de expresar el área de la superficie, puede reescribir la relación entre el área de la superficie de una partícula y el volumen de una partícula con

\ frac {A_s} {A_p} = \ frac {\ pi ^ {1/3} (6V_p) ^ {2/3}} {A_p}

que se define comoΨ. Debido a que se define como una proporción, la máxima esfericidad que puede tener un objeto es una, que corresponde a una esfera perfecta.

Puede usar diferentes valores para cambiar el volumen de diferentes objetos y observar cómo la esfericidad depende más de ciertas dimensiones o medidas en comparación con otras. Por ejemplo, al medir la esfericidad de partículas, es mucho más probable que el alargamiento de partículas en una dirección aumente la esfericidad que cambiar la redondez de ciertas partes de la misma.

Volumen de esfericidad del cilindro

Usando la ecuación de esfericidad, puede determinar la esfericidad de un cilindro. Primero debe calcular el volumen del cilindro. Luego, calcula el radio de una esfera que tendría este volumen. Encuentre el área de la superficie de esta esfera con este radio y luego divídala por el área de la superficie del cilindro.

Si tiene un cilindro con un diámetro de 1 my una altura de 3 m, puede calcular su volumen como el producto del área de la base y la altura. Esto sería

V = Ah = 2 \ pi r ^ 2 3 = 2.36 \ text {m} ^ 3

Porque el volumen de una esfera esV = 4πr3/3, puede calcular el radio de este volumen como

r = \ bigg (\ frac {3V \ pi} {4} \ bigg) ^ {1/3}

Para una esfera con este volumen, tendría un radio r =(2,36 metros3 x (3/4​​π)​​)1/3 = .83 m.

El área de la superficie de una esfera con este radio seríaA = 4πr2o 4πr2o 8,56 m3. El cilindro tiene una superficie de 11,00 m2 dada porA = 2 (πr2) + 2πr x h, que es la suma de las áreas de las bases circulares y el área de la superficie curva del cilindro. Esto le da una esfericidad.Ψde .78 de la división del área de la superficie de la esfera con el área de la superficie del cilindro.

Puede acelerar este proceso paso a paso que involucra el volumen y el área de la superficie de un cilindro junto con el volumen y la superficie. son de una esfera que utilizan métodos computacionales que pueden calcular estas variables una por una mucho más rápido que un humano lata. La realización de simulaciones por computadora utilizando estos cálculos es solo una aplicación de la esfericidad.

Aplicaciones geológicas de la esfericidad

La esfericidad se originó en la geología. Debido a que las partículas tienden a adoptar formas irregulares que tienen volúmenes que son difíciles de determinar, el geólogo Hakon Wadell creó una definición más aplicable que utiliza la relación entre el diámetro nominal de la partícula, el diámetro de una esfera con el mismo volumen que un grano, y el diámetro de la esfera que abarcaría eso.

A través de esto, creó el concepto de esfericidad que podría usarse junto con otras medidas como la redondez para evaluar las propiedades de las partículas físicas.

Además de determinar qué tan cerca están los cálculos teóricos de los ejemplos del mundo real, la esfericidad tiene una variedad de otros usos. Los geólogos determinan la esfericidad de las partículas sedimentarias para averiguar qué tan cerca están de las esferas. A partir de ahí, pueden calcular otras cantidades como las fuerzas entre partículas o realizar simulaciones de partículas en diferentes entornos.

Estas simulaciones por computadora permiten a los geólogos diseñar experimentos y estudiar las características de la tierra, como el movimiento y la disposición de los fluidos entre las rocas sedimentarias.

Los geólogos pueden usar la esfericidad para estudiar la aerodinámica de las partículas volcánicas. Las tecnologías de microscopio electrónico de barrido y barrido láser tridimensional han medido directamente la esfericidad de las partículas volcánicas. Los investigadores pueden comparar estos resultados con otros métodos de medición de la esfericidad, como la esfericidad de trabajo. Esta es la esfericidad de un tetradecaedro, un poliedro con 14 caras, a partir de las relaciones de planitud y alargamiento de las partículas volcánicas.

Otros métodos para medir la esfericidad incluyen la aproximación de la circularidad de la proyección de una partícula sobre una superficie bidimensional. Estas diferentes medidas pueden brindar a los investigadores métodos más precisos para estudiar las propiedades físicas de estas partículas cuando se liberan de los volcanes.

Esfericidad en otros campos 

Las aplicaciones a otros campos también son dignas de mención. Los métodos basados ​​en computadora, en particular, pueden examinar otras características del material sedimentario como la porosidad, la conectividad y redondez junto con la esfericidad para evaluar las propiedades físicas de los objetos, como el grado de osteoporosis del ser humano. huesos. También permite a los científicos e ingenieros determinar qué tan útiles pueden ser los biomateriales para los implantes.

Los científicos que estudian las nanopartículas pueden medir el tamaño y la esfericidad de los nanocristales de silicio para descubrir cómo se pueden utilizar en materiales optoelectrónicos y emisores de luz basados ​​en silicio. Posteriormente, estos se pueden utilizar en diversas tecnologías como la bioimagen y la administración de fármacos.

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