Ecuaciones de Maxwell: definición, derivación, cómo recordar (con ejemplos)

Resolver los misterios del electromagnetismo ha sido uno de los mayores logros de la física hasta la fecha, y las lecciones aprendidas están completamente resumidas en las ecuaciones de Maxwell.

James Clerk Maxwell da su nombre a estas cuatro elegantes ecuaciones, pero son la culminación de décadas de trabajo de muchos físicos. incluidos Michael Faraday, Andre-Marie Ampere y Carl Friedrich Gauss, que dan sus nombres a tres de las cuatro ecuaciones, y muchos otros. Si bien el propio Maxwell solo agregó un término a una de las cuatro ecuaciones, tuvo la previsión y la comprensión para recopilar lo mejor del trabajo que se había hecho sobre el tema y presentarlo de una manera que todavía utiliza físicos de hoy.

Durante muchos, muchos años, los físicos creyeron que la electricidad y el magnetismo eran fuerzas separadas y fenómenos distintos. Pero a través del trabajo experimental de personas como Faraday, se hizo cada vez más claro que en realidad eran dos lados del mismo fenómeno, y las ecuaciones de Maxwell presentan esta imagen unificada que sigue siendo tan válida hoy como lo era en el siglo XIX. siglo. Si va a estudiar física a niveles superiores, es absolutamente necesario que conozca las ecuaciones de Maxwell y cómo utilizarlas.

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Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell son las siguientes, tanto en forma diferencial como en forma integral. (Tenga en cuenta que si bien el conocimiento de las ecuaciones diferenciales es útil aquí, una comprensión conceptual es posible incluso sin él).

Ley de Gauss para la electricidad

Forma diferencial:

\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}

Forma integral:

\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}

No hay ley monopolo / ley de Gauss para el magnetismo

Forma diferencial:

\ bm {∇ ∙ B} = 0

Forma integral:

\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0

Ley de inducción de Faraday

Forma diferencial:

\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}

Forma integral:

\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}

Ley de Ampere-Maxwell / Ley de Ampere

Forma diferencial:

\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}

Forma integral:

\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }

Símbolos utilizados en las ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell utilizan una gran selección de símbolos y es importante que comprenda lo que significan si va a aprender a aplicarlos. Así que aquí hay un resumen de los significados de los símbolos utilizados:

B= campo magnético

mi= campo eléctrico

ρ= densidad de carga eléctrica

ε0= permitividad del espacio libre = 8.854 × 10-12 metro-3 kg-1 s4 A2

q= carga eléctrica total (suma neta de cargas positivas y negativas)

𝜙B = flujo magnético

J= densidad de corriente

I= corriente eléctrica

C= velocidad de la luz = 2.998 × 108 Sra

μ0 = permeabilidad del espacio libre = 4π × 10−7 N / A2

Además, es importante saber que ∇ es el operador del, un punto entre dos cantidades (X​ ∙ ​Y) muestra un producto escalar, un símbolo de multiplicación en negrita entre dos cantidades es un producto vectorial (X​ × ​Y), que el operador del con un punto se denomina "divergencia" (p. ej., ∇ ∙X= divergencia deX= divX) y un operador del con un producto escalar se llama curl (p. ej., ∇×​ ​Y= rizo deY= rizoY). Finalmente, elAen dAsignifica el área de la superficie cerrada que está calculando (a veces escrito como dS), y elsen dses una parte muy pequeña del límite de la superficie abierta que está calculando (aunque esto a veces es dl, refiriéndose a un componente de línea infinitesimalmente pequeño).

Derivación de las ecuaciones

La primera ecuación de las ecuaciones de Maxwell es la ley de Gauss, y establece que el flujo eléctrico neto a través de un superficie cerrada es igual a la carga total contenida dentro de la forma dividida por la permitividad de espacio. Esta ley se puede derivar de la ley de Coulomb, después de dar el paso importante de expresar la ley de Coulomb en términos de un campo eléctrico y el efecto que tendría en una carga de prueba.

La segunda de las ecuaciones de Maxwell es esencialmente equivalente a la afirmación de que "no hay monopolos magnéticos". Afirma que el flujo magnético neto a través de una superficie cerrada siempre será 0, porque los campos magnéticos son siempre el resultado de una dipolo. La ley se puede derivar de la ley de Biot-Savart, que describe el campo magnético producido por un elemento de corriente.

La tercera ecuación, la ley de inducción de Faraday, describe cómo un campo magnético cambiante produce un voltaje en un bucle de alambre o conductor. Originalmente se derivó de un experimento. Sin embargo, dado el resultado de que un flujo magnético cambiante induce una fuerza electromotriz (EMF o voltaje) y, por lo tanto, una corriente eléctrica en un bucle de alambre, y el hecho de que EMF se define como la integral de línea del campo eléctrico alrededor del circuito, la ley es fácil de poner juntos.

La cuarta y última ecuación, la ley de Ampere (o la ley de Ampere-Maxwell para darle crédito por su contribución) describe cómo un campo magnético es generado por una carga en movimiento o un cambio eléctrico campo. La ley es el resultado de un experimento (por lo que, como todas las ecuaciones de Maxwell, no se "derivó" en un sentido tradicional),Teorema de Stokeses un paso importante para obtener el resultado básico en la forma que se usa hoy.

Ejemplos de ecuaciones de Maxwell: ley de Gauss

Para ser franco, especialmente si no está exactamente al día en su cálculo vectorial, las ecuaciones de Maxwell parecen bastante desalentadoras a pesar de lo relativamente compactas que son. La mejor manera de comprenderlos realmente es pasar por algunos ejemplos de su uso en la práctica, y la ley de Gauss es el mejor lugar para comenzar. La ley de Gauss es esencialmente una ecuación más fundamental que hace el trabajo de la ley de Coulomb, y es Bastante fácil derivar la ley de Coulomb de él considerando el campo eléctrico producido por un punto cargo.

Llamando a la cargaq, el punto clave para aplicar la ley de Gauss es elegir la "superficie" correcta para examinar el flujo eléctrico. En este caso, una esfera funciona bien, que tiene un área de superficieA​ = 4π​r2, porque puedes centrar la esfera en la carga puntual. Este es un gran beneficio para resolver problemas como este porque entonces no es necesario integrar un campo variable en la superficie; el campo será simétrico alrededor de la carga puntual, por lo que será constante en la superficie de la esfera. Entonces la forma integral:

\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}

Puede expresarse como:

E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}

Tenga en cuenta que elmiporque el campo eléctrico ha sido reemplazado por una magnitud simple, porque el campo de una carga puntual simplemente se esparcirá por igual en todas las direcciones desde la fuente. Ahora, dividiendo por el área de la superficie de la esfera da:

E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}

Dado que la fuerza está relacionada con el campo eléctrico pormi​ = ​F​/​q, dóndeqes una carga de prueba,F​ = ​qE, y entonces:

F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}

Donde se han agregado los subíndices para diferenciar los dos cargos. Esta es la ley de Coulomb expresada en forma estándar, que se muestra como una simple consecuencia de la ley de Gauss.

Ejemplos de ecuaciones de Maxwell: ley de Faraday

La ley de Faraday le permite calcular la fuerza electromotriz en un bucle de alambre resultante de un campo magnético cambiante. Un ejemplo simple es un bucle de alambre, con radior= 20 cm, en un campo magnético que aumenta en magnitud desdeBI = 1 T paraBF = 10 T en el espacio de ∆t= 5 s - ¿cuál es la EMF inducida en este caso? La forma integral de la ley involucra el flujo:

\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}

que se define como:

ϕ = BA \ cos (θ)

La parte clave del problema aquí es encontrar la tasa de cambio de flujo, pero como el problema es bastante sencillo, puede reemplazar la derivada parcial con un simple “cambio en” cada cantidad. Y la integral realmente solo significa la fuerza electromotriz, por lo que puede reescribir la ley de inducción de Faraday como:

\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {∆t}

Si asumimos que el bucle de alambre tiene su normal alineada con el campo magnético,θ= 0 ° y entonces cos (θ) = 1. Esto deja:

\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {∆t}

El problema puede resolverse encontrando la diferencia entre el campo magnético inicial y final y el área del bucle, de la siguiente manera:

\ begin {alineado} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0.2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0.23 \ text {V } \ end {alineado}

Este es solo un voltaje pequeño, pero la ley de Faraday se aplica de la misma manera independientemente.

Ejemplos de ecuaciones de Maxwell: ley de Ampere-Maxwell

La ley de Ampere-Maxwell es la última de las ecuaciones de Maxwell que deberá aplicar de forma regular. La ecuación vuelve a la ley de Ampere en ausencia de un campo eléctrico cambiante, por lo que este es el ejemplo más fácil de considerar. Puede usarlo para derivar la ecuación de un campo magnético resultante de un cable recto que lleva una corrienteI, y este ejemplo básico es suficiente para mostrar cómo se usa la ecuación. La ley completa es:

\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }

Pero sin un campo eléctrico cambiante, se reduce a:

\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I

Ahora, como con la ley de Gauss, si elige un círculo para la superficie, centrado en el bucle de alambre, la intuición sugiere que el campo magnético resultante será simétrico, por lo que puede reemplazar la integral con un producto simple de la circunferencia del bucle y la intensidad del campo magnético, partida:

B × 2πr = μ_0 I

Dividiendo por 2πrda:

B = \ frac {μ_0 I} {2πr}

¿Cuál es la expresión aceptada para el campo magnético a distancia?rresultante de un cable recto que lleva una corriente.

Ondas electromagnéticas

Cuando Maxwell armó su conjunto de ecuaciones, comenzó a encontrar soluciones para ayudar a explicar varios fenómenos en el mundo real, y la percepción que dio a la luz es uno de los resultados más importantes que adquirido.

Debido a que un campo eléctrico cambiante genera un campo magnético (según la ley de Ampere) y un campo magnético cambiante genera un campo eléctrico (según la ley de Faraday), Maxwell descubrió que una onda electromagnética autopropagada podría ser posible. Usó sus ecuaciones para encontrar la ecuación de onda que describiría tal onda y determinó que viajaría a la velocidad de la luz. Este fue una especie de momento “eureka”; se dio cuenta de que la luz es una forma de radiación electromagnética, ¡funcionando exactamente como el campo que imaginó!

Una onda electromagnética consiste en una onda de campo eléctrico y una onda de campo magnético que oscilan hacia adelante y hacia atrás, alineadas en ángulo recto entre sí. La oscilación de la parte eléctrica de la onda genera el campo magnético, y la oscilación de esta parte a su vez produce un campo eléctrico nuevamente, una y otra vez a medida que viaja por el espacio.

Como cualquier otra onda, una onda electromagnética tiene una frecuencia y una longitud de onda, y el producto de estas siempre es igual aC, la velocidad de la luz. Las ondas electromagnéticas nos rodean y, además de la luz visible, otras longitudes de onda se denominan comúnmente ondas de radio, microondas, infrarrojos, ultravioleta, rayos X y rayos gamma. Todas estas formas de radiación electromagnética tienen la misma forma básica explicada por las ecuaciones de Maxwell, pero sus energías varían con la frecuencia (es decir, una frecuencia más alta significa una energía más alta).

Entonces, para un físico, fue Maxwell quien dijo: "¡Hágase la luz!"

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