Ya sea que se trate de una patinadora sobre hielo que tira de sus brazos y gira más rápido como lo hace o de un gato que controla la rapidez con la que gira. durante una caída para asegurar que aterrice sobre sus pies, el concepto de un momento de inercia es crucial para la física de rotación movimiento.
También conocido como inercia rotacional, el momento de inercia es el análogo rotacional de la masa en el segunda de las leyes del movimiento de Newton, que describe la tendencia de un objeto a resistir la aceleración angular.
El concepto puede no parecer demasiado interesante al principio, pero en combinación con la ley de conservación de angulares impulso, se puede utilizar para describir muchos fenómenos físicos fascinantes y predecir el movimiento en una amplia gama de situaciones.
Definición de momento de inercia
El momento de inercia de un objeto describe su resistencia a la aceleración angular, lo que explica la distribución de masa alrededor de su eje de rotación.
Básicamente, cuantifica qué tan difícil es cambiar la velocidad de rotación de un objeto, ya sea que eso signifique comenzar su rotación, detenerlo o cambiar la velocidad de un objeto que ya está girando.
A veces se le llama inercia rotacional y es útil pensar en ella como un análogo de la masa en la segunda ley de Newton:Fneto = mamá. Aquí, la masa de un objeto a menudo se denomina masa inercial y describe la resistencia del objeto al movimiento (lineal). La inercia rotacional funciona así para el movimiento rotacional, y la definición matemática siempre incluye masa.
La expresión equivalente a la segunda ley para el movimiento de rotación se relacionaesfuerzo de torsión (τ, el análogo rotacional de la fuerza) a la aceleración angularαy momento de inerciaI:
\ tau = yo \ alpha
Sin embargo, el mismo objeto puede tener múltiples momentos de inercia porque, si bien una gran parte de la definición se refiere a la distribución de masa, también tiene en cuenta la ubicación del eje de rotación.
Por ejemplo, mientras que el momento de inercia de una varilla que gira alrededor de su centro esI = ML2/ 12 (dondeMETROes masa yLes la longitud de la varilla), la misma varilla que gira alrededor de un extremo tiene un momento de inercia dado porI = ML2/3.
Ecuaciones para el momento de inercia
Entonces, el momento de inercia de un cuerpo depende de su masaMETRO, su radioRy su eje de rotación.
En algunos casos,Res referido comoD, para la distancia desde el eje de rotación, y en otros (como con la varilla en la sección anterior) se reemplaza por la longitud,L. El símboloIse utiliza para el momento de inercia, y tiene unidades de kg m2.
Como es de esperar en base a lo que ha aprendido hasta ahora, existen muchas ecuaciones diferentes para el momento de inercia, y cada una se refiere a una forma específica y un eje de rotación específico. En todos los momentos de inercia, el términoSEÑOR2 aparece, aunque para diferentes formas hay diferentes fracciones delante de este término, y en algunos casos puede haber varios términos sumados.
LaSEÑOR2 componente es el momento de inercia para una masa puntual a una distanciaRdesde el eje de rotación, y la ecuación para un cuerpo rígido específico se construye como una suma de masas puntuales, o integrando un número infinito de masas puntuales pequeñas sobre el objeto.
Si bien en algunos casos puede ser útil derivar el momento de inercia de un objeto basándose en una simple suma aritmética de masas puntuales o por integrando, en la práctica hay muchos resultados para formas comunes y ejes de rotación que puede usar simplemente sin necesidad de derivarlos primero:
Cilindro macizo (eje de simetría):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Cilindro macizo (eje de diámetro central o el diámetro de la sección transversal circular en el medio del cilindro):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Esfera sólida (eje central):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Concha esférica delgada (eje central):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Aro (eje de simetría, es decir, perpendicularmente a través del centro):
Yo = señor ^ 2
Aro (eje de diámetro, es decir, a través del diámetro del círculo formado por el aro):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Varilla (eje central, perpendicular a la longitud de la varilla):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Varilla (girando alrededor del extremo):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Inercia rotacional y eje de rotación
Comprender por qué hay diferentes ecuaciones para cada eje de rotación es un paso clave para comprender el concepto de momento de inercia.
Piense en un lápiz: puede girarlo girándolo en el medio, hacia el final o girándolo alrededor de su eje central. Debido a que la inercia rotacional de un objeto depende de la distribución de masa alrededor del eje de rotación, cada una de estas situaciones es diferente y requiere una ecuación separada para describirla.
Puede obtener una comprensión instintiva del concepto de momento de inercia si escala este mismo argumento hasta un asta de bandera de 30 pies.
Girarlo de un extremo a otro sería muy difícil, si es que pudieras manejarlo, mientras que girar el poste sobre su eje central sería mucho más fácil. Esto se debe a que la torsión depende en gran medida de la distancia desde el eje de rotación y en los 30 pies ejemplo del asta de bandera, girarlo de un extremo a otro involucra cada extremo a 15 pies de distancia del eje de rotación.
Sin embargo, si lo gira alrededor del eje central, todo está bastante cerca del eje. La situación es muy parecida a llevar un objeto pesado con el brazo extendido vs. sosteniéndolo cerca de su cuerpo, u operando una palanca desde el final vs. cerca del fulcro.
Es por eso que necesita una ecuación diferente para describir el momento de inercia para el mismo objeto dependiendo del eje de rotación. El eje que elija afecta la distancia entre las partes del cuerpo y el eje de rotación, aunque la masa del cuerpo siga siendo la misma.
Usando las ecuaciones para el momento de inercia
La clave para calcular el momento de inercia de un cuerpo rígido es aprender a usar y aplicar las ecuaciones adecuadas.
Considere el lápiz de la sección anterior, girando de un extremo a otro alrededor de un punto central a lo largo de su longitud. Si bien no es unPerfectovarilla (la punta puntiaguda rompe esta forma, por ejemplo) se puede modelar como tal para evitar que tenga que pasar por un momento completo de derivación de inercia para el objeto.
Entonces, modelando el objeto como una varilla, usaría la siguiente ecuación para encontrar el momento de inercia, combinado con la masa total y la longitud del lápiz:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Un desafío mayor es encontrar el momento de inercia de los objetos compuestos.
Por ejemplo, considere dos bolas conectadas entre sí por una varilla (que trataremos como sin masa para simplificar el problema). La bola uno tiene 2 kg y está colocada a 2 m del eje de rotación, y la bola dos tiene una masa de 5 kg y está a 3 m del eje de rotación.
En este caso, puede encontrar el momento de inercia para este objeto compuesto considerando cada bola como una masa puntual y trabajando desde la definición básica que:
\ begin {alineado} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {alineado}
Con los subíndices simplemente diferenciando entre diferentes objetos (es decir, bola 1 y bola 2). El objeto de dos bolas tendría entonces:
\ begin {alineado} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ end {alineado}
Momento de inercia y conservación del momento angular
El momento angular (el análogo rotacional del momento lineal) se define como el producto de la inercia rotacional (es decir, el momento de inercia,I) del objeto y su velocidad angularω), que se mide en grados / so rad / s.
Sin duda, estará familiarizado con la ley de conservación del momento lineal, y el momento angular también se conserva de la misma manera. La ecuación del momento angularL) es:
L = Iω
Pensar en lo que esto significa en la práctica explica muchos fenómenos físicos, porque (en ausencia de otras fuerzas), cuanto mayor es la inercia rotacional de un objeto, menor es su velocidad angular.
Considere un patinador sobre hielo girando a una velocidad angular constante con los brazos extendidos, y observe que sus brazos extendidos aumentan el radio.Ralrededor del cual se distribuye su masa, lo que lleva a un momento de inercia mayor que si sus brazos estuvieran cerca de su cuerpo.
SiL1 se calcula con los brazos extendidos, yL2, después de meter los brazos debe tener el mismo valor (porque se conserva el momento angular), ¿qué pasa si disminuye su momento de inercia tirando de sus brazos? Su velocidad angularωaumenta para compensar.
Los gatos realizan movimientos similares para ayudarlos a aterrizar de pie al caer.
Al estirar las patas y la cola, aumentan su momento de inercia y reducen la velocidad de su rotación. ya la inversa, pueden retraer las piernas para disminuir su momento de inercia y aumentar su velocidad de rotación. Utilizan estas dos estrategias, junto con otros aspectos de su "reflejo de enderezamiento", para asegurarse de que sus pies aterrizan. primero, y puede ver distintas fases de acurrucarse y estirarse en fotografías de lapso de tiempo de un gato aterrizaje.
Momento de inercia y energía cinética rotacional
Continuando con los paralelos entre el movimiento lineal y el movimiento de rotación, los objetos también tienen energía cinética de rotación de la misma manera que tienen energía cinética lineal.
Piense en una pelota que rueda por el suelo, girando alrededor de su eje central y moviéndose hacia adelante de forma lineal: la energía cinética total de la pelota es la suma de su energía cinética linealmik y su energía cinética rotacionalmiputrefacción. Los paralelismos entre estas dos energías se reflejan en las ecuaciones para ambas, recordando que el momento de inercia es el análogo rotacional de la masa y su velocidad angular es el análogo rotacional de lineal velocidadv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Puede ver claramente que ambas ecuaciones tienen exactamente la misma forma, con los análogos rotacionales apropiados sustituidos por la ecuación de energía cinética rotacional.
Por supuesto, para calcular la energía cinética rotacional, necesitará sustituir la expresión apropiada para el momento de inercia del objeto en el espacio paraI. Considerando la bola y modelando el objeto como una esfera sólida, la ecuación en este caso es:
\ begin {align} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ end {alineado}
La energía cinética total (minene) es la suma de esto y la energía cinética de la pelota, por lo que puedes escribir:
\ begin {align} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { alineado}
Para una bola de 1 kg que se mueve a una velocidad lineal de 2 m / s, con un radio de 0.3 my con una velocidad angular de 2π rad / s, la energía total sería:
\ begin {align} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ text {kg} × (0.3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0.71 \; \ text {J} \\ & = 2,71 \; \ text {J} \ end {alineado}
Dependiendo de la situación, un objeto puede poseer solo energía cinética lineal (por ejemplo, una bola que se deja caer una altura sin que se le imparta giro) o solo energía cinética de rotación (una bola que gira pero que se mantiene en su lugar).
Recuerda que estotalenergía que se conserva. Si una pelota es pateada contra una pared sin rotación inicial, y rebota a una velocidad más baja pero con un giro impartido, así como la energía perdido por el sonido y el calor cuando hizo contacto, parte de la energía cinética inicial se ha transferido a la energía cinética de rotación, por lo quehipocresíaposiblemente se mueva tan rápido como lo hizo antes de recuperarse.