A veces, la única forma de realizar cálculos matemáticos es mediante la fuerza bruta. Pero de vez en cuando, puede ahorrar mucho trabajo al reconocer problemas especiales que puede resolver con una fórmula estandarizada. Encontrar la suma de cubos y encontrar la diferencia de cubos son dos ejemplos de eso exactamente: Una vez que conozca las fórmulas para factorizara3 + B3 oa3 - B3, encontrar la respuesta es tan fácil como sustituir los valores de ayb en la fórmula correcta.
Poniéndolo en contexto
Primero, un vistazo rápido a por qué es posible que desee encontrar, o más apropiadamente "factorizar", las sumas o diferencias de cubos. Cuando se introduce el concepto por primera vez, es un simple problema matemático en sí mismo. Pero si sigues estudiando matemáticas, más adelante esto se convertirá en un paso intermedio en cálculos más complejos. Así que si consiguesa3 + B3 oa3 − B3 como respuesta durante otros cálculos, puede usar las habilidades que está a punto de aprender para romper esas números separados en componentes más simples, lo que a menudo hace que sea más fácil continuar resolviendo el original problema.
Factorizar la suma de cubos
Imagina que has llegado al binomio
x ^ 3 + 27
y se les pide que lo simplifiquen. El primer término,X3, es obviamente un número al cubo. Después de un pequeño examen, puede ver que el segundo número también es un número al cubo: 27 es lo mismo que 33. Ahora que sabe que ambos números son cubos, puede aplicar la fórmula para la suma de cubos.
Escribe ambos números en su forma al cubo, si ese no es el caso. Para continuar con este ejemplo, tendrías:
x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3
Una vez que esté acostumbrado al proceso, puede omitir este paso e ir directamente a completar los valores del Paso 1 en la fórmula. Pero especialmente cuando está aprendiendo, es mejor ir paso a paso y recordar la fórmula:
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Compare el lado izquierdo de esta ecuación con el resultado del Paso 1. Tenga en cuenta que puede sustituirXen lugar dea,y 3 en lugar deB.
Sustituya los valores del Paso 1 en la fórmula del Paso 2. Así que tienes:
x ^ 3 + 3 ^ 3 = (x + 3) (x ^ 2 - 3x + 3 ^ 2)
Por ahora, llegar al lado derecho de la ecuación representa tu respuesta. Este es el resultado de factorizar la suma de dos números al cubo.
Factorizar la diferencia de cubos
Factorizar la diferencia de dos números al cubo funciona de la misma manera. De hecho, la fórmula es casi idéntica a la fórmula para la suma de cubos. Pero hay una diferencia fundamental: preste especial atención a dónde va el signo menos.
Imagina que tienes el problema
y ^ 3 - 125
y tengo que factorizarlo. Como antes,y3 es un cubo obvio, y con un poco de pensamiento deberías poder reconocer que 125 es en realidad 53. Así que tienes:
y ^ 3 - 125 = y ^ 3 - 5 ^ 3
Como antes, escribe la fórmula para la diferencia de cubos. Tenga en cuenta que puede sustituiryporay 5 paraBy preste especial atención a dónde va el signo menos en esta fórmula. La ubicación del signo menos es la única diferencia entre esta fórmula y la fórmula para la suma de cubos.
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Escribe la fórmula nuevamente, esta vez sustituyendo los valores del Paso 1. Esto produce:
y ^ 3-5 ^ 3 = (y - 5) (y ^ 2 + 5y + 5 ^ 2)
Nuevamente, si todo lo que tienes que hacer es factorizar la diferencia de los cubos, esta es tu respuesta.