Una vez que comience a hacer trigonometría y cálculo, puede encontrarse con expresiones como pecado (2θ), donde se le pide que encuentre el valor deθ. Jugar a prueba y error con gráficos o una calculadora para encontrar la respuesta iría desde una pesadilla prolongada hasta totalmente imposible. Afortunadamente, las identidades de doble ángulo están aquí para ayudar. Estos son casos especiales de lo que se conoce como fórmula compuesta, que rompe funciones de las formas (A + B) o (A – B) en funciones de soloAyB.
Las identidades de doble ángulo para seno
Hay tres identidades de doble ángulo, una para cada función seno, coseno y tangente. Pero las identidades de seno y coseno se pueden escribir de múltiples maneras. Aquí están las dos formas de escribir la identidad de doble ángulo para la función seno:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Las identidades de doble ángulo para el coseno
Hay incluso más formas de escribir la identidad de doble ángulo para el coseno:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2\ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
La identidad de doble ángulo para la tangente
Afortunadamente, solo hay una forma de escribir la identidad de doble ángulo para la función tangente:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Usar identidades de doble ángulo
Imagina que te enfrentas a un triángulo rectángulo en el que conoces la longitud de sus lados, pero no la medida de sus ángulos. Se te ha pedido que encuentresθ, dóndeθes uno de los ángulos del triángulo. Si la hipotenusa del triángulo mide 10 unidades, el lado adyacente a tu ángulo mide 6 unidades y el lado opuesto al ángulo mide 8 unidades, no importa que no sepas la medida deθ; puede usar sus conocimientos de seno y coseno, más una de las fórmulas de doble ángulo, para encontrar la respuesta.
Una vez que haya elegido un ángulo, puede definir el seno como la relación del lado opuesto sobre la hipotenusa y el coseno como la relación del lado adyacente sobre la hipotenusa. Entonces, en el ejemplo que se acaba de dar, tiene:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Encuentra estas dos expresiones porque son los bloques de construcción más importantes para las fórmulas de doble ángulo.
Debido a que hay tantas fórmulas de doble ángulo para elegir, puede seleccionar la que parezca más fácil de calcular y devolverá el tipo de información que necesita. En este caso, porque conoces el pecadoθy cosθYa está claro que la expresión más conveniente es:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Ya conoces los valores de sinθ y cosθ, así que sustitúyelos en la ecuación:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Una vez que simplifique, tendrá:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
La mayoría de los gráficos trigonométricos se dan en decimales, por lo que a continuación, trabaje la división representada por la fracción para convertirla a forma decimal. Ahora tu tienes:
\ sin (2θ) = 0,96
Finalmente, encuentre el seno inverso o arcoseno de 0.96, que se escribe como pecado −1(0.96). O, en otras palabras, use su calculadora o una tabla para aproximar el ángulo que tiene un seno de 0.96. Resulta que eso es casi exactamente igual a 73,7 grados. Entonces 2θ= 73,7 grados.
Divide cada lado de la ecuación por 2. Esto te da:
θ = 36,85 \ text {grados}