La capacidad de calcular el valor medio o medio de un grupo de números es importante en todos los aspectos de la vida. Si usted es un profesor que asigna calificaciones con letras a los puntajes de los exámenes y tradicionalmente otorga una calificación de B- a un puntaje medio del paquete, entonces claramente necesita saber cómo se ve el medio del paquete numéricamente. También necesita una forma de identificar las puntuaciones como valores atípicos para poder determinar cuándo alguien merece una A o A + (fuera de las puntuaciones perfectas, obviamente), así como qué merece una calificación reprobatoria.
Por esta y otras razones relacionadas, los datos completos sobre los promedios incluyen información sobre qué tan cerca están agrupadas alrededor de la puntuación promedio las puntuaciones en general. Esta información se transmite mediante Desviación Estándar y, en relación, el diferencia de una muestra estadística.
Medidas de variabilidad
Es casi seguro que haya escuchado o visto el término "promedio" usado en referencia a un conjunto de números o puntos de datos, y probablemente tenga una idea de lo que se traduce en el lenguaje cotidiano. Por ejemplo, si lee que la estatura promedio de una mujer estadounidense es de aproximadamente 5 '4 ", inmediatamente concluye que "promedio" significa "típico" y que aproximadamente la mitad de las mujeres en los Estados Unidos son más altas que esto, mientras que aproximadamente la mitad son más corta.
Matemáticamente, promedio y significar son exactamente lo mismo: se suman todos los valores de un conjunto y se dividen por el número de elementos del conjunto. Por ejemplo, si un grupo de 25 puntuaciones en una prueba de 10 preguntas van de 3 a 10 y suman 196, la puntuación media (media) es 196/25 o 7,84.
La mediana es el valor del punto medio en un conjunto, el número en el que la mitad de los valores se encuentran por encima y la mitad de los valores por debajo. Suele estar cerca de la media (media) pero no es lo mismo.
Fórmula de varianza
Si observa un conjunto de 25 puntuaciones como las anteriores y no ve casi nada más que valores de 7, 8 y 9, tiene sentido intuitivo que el promedio debería estar alrededor de 8. Pero, ¿qué pasa si no ve casi nada más que puntuaciones de 6 y 10? ¿O cinco puntuaciones de 0 y 20 puntuaciones de 9 o 10? Todos estos pueden producir el mismo promedio.
La varianza es una medida de la amplitud con la que se distribuyen los puntos de un conjunto de datos sobre la media. Para calcular la varianza a mano, toma la diferencia aritmética entre cada uno de los puntos de datos y el promedio, cuadrarlos, sumar la suma de los cuadrados y dividir el resultado por uno menos que el número de puntos de datos en el muestra. Más adelante se proporciona un ejemplo de esto. También puede utilizar programas como Excel o sitios web como Rapid Tables (consulte Recursos para sitios adicionales).
La varianza se denota por σ2, una "sigma" griega con un exponente de 2.
Desviación Estándar
La Desviación Estándar de una muestra es simplemente la raíz cuadrada de la varianza. La razón por la que se usan cuadrados al calcular la varianza es que si simplemente suma las diferencias individuales entre el promedio y cada punto de datos individual, la suma siempre es cero porque algunas de estas diferencias son positivas y otras son negativas, y se cancelan entre sí fuera. Cuadrar cada término elimina este error.
Problema de varianza muestral y desviación estándar
Suponga que le dan los 10 puntos de datos:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Encuentre el promedio, la varianza y la desviación estándar.
Primero, sume los 10 valores y divídalos por 10 para obtener el promedio (media):
70/10 = 7.0
Para obtener la varianza, eleve al cuadrado la diferencia entre cada punto de datos y el promedio, súmelos y divida el resultado entre (10 - 1) o 9:
- 7 - 4 = 3; 32 = 9
- 7 - 7 = 0; 02 = 0
- 7 - 10 = -3; (-3)2 = 9.. .
9 + 0 + 9 +... + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
La desviación estándar σ es solo la raíz cuadrada de 4.0 o 2.0.