Con el Super Bowl a la vuelta de la esquina, los atletas y fanáticos del mundo tienen su enfoque fijo en el gran juego. Pero para los _math_letes, el gran juego podría traerles a la mente un pequeño problema relacionado con las posibles puntuaciones en un juego de fútbol. Con solo opciones limitadas para la cantidad de puntos que puede obtener, algunos totales simplemente no se pueden alcanzar, pero ¿cuál es el más alto? Si desea saber qué vincula las monedas, el fútbol y los nuggets de pollo de McDonald's, este es un problema para usted.
El problema matemático del Super Bowl
El problema involucra los posibles puntajes que los Rams de Los Ángeles o los Patriots de Nueva Inglaterra podrían lograr el domingo. sin una seguridad o una conversión de dos puntos. En otras palabras, las formas permitidas para aumentar sus puntajes son los goles de campo de 3 puntos y los touchdowns de 7 puntos. Entonces, sin profundos, no puedes lograr una puntuación de 2 puntos en un juego con cualquier combinación de 3 y 7. Del mismo modo, tampoco puede lograr una puntuación de 4, ni tampoco puede obtener una puntuación de 5.
La pregunta es: ¿Cuál es la puntuación más alta que hipocresía lograrse con solo goles de campo de 3 puntos y touchdowns de 7 puntos?
Por supuesto, los touchdowns sin conversión valen 6, pero como puedes llegar a eso con dos goles de campo de todos modos, no importa el problema. Además, dado que estamos tratando con matemáticas aquí, no tiene que preocuparse por las tácticas específicas del equipo o incluso por los límites en su capacidad para sumar puntos.
¡Intenta resolver esto tú mismo antes de continuar!
Encontrar una solución (el camino lento)
Este problema tiene algunas soluciones matemáticas complejas (consulte Recursos para obtener detalles completos, pero el resultado principal se presentará a continuación), pero es un buen ejemplo de cómo esto no es así. necesario para encontrar la respuesta.
Todo lo que tiene que hacer para encontrar una solución de fuerza bruta es simplemente probar cada una de las puntuaciones por turno. Entonces sabemos que no puede obtener 1 o 2, porque son menos de 3. Ya establecimos que 4 y 5 no son posibles, pero 6 sí, con dos tiros de campo. Después de 7 (que es posible), ¿puedes puntuar 8? No. Tres goles de campo dan 9, y un gol de campo y un touchdown convertido hacen 10. Pero no puedes conseguir 11.
A partir de este punto, un pequeño trabajo demuestra que:
\ begin {alineado} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ end {alineado}
Y, de hecho, puedes seguir así todo el tiempo que quieras. La respuesta parece ser 11. ¿Pero es?
La solución algebraica
Los matemáticos llaman a estos problemas "problemas de monedas de Frobenius". La forma original relacionada con las monedas, como: Si solo se valuaron las monedas 4 centavos y 11 centavos (no monedas reales, pero de nuevo, eso son problemas de matemáticas para ti), ¿cuál es la mayor cantidad de dinero que no pudiste? Produce.
La solución, en términos de álgebra, es que con una puntuación que vale pag puntos y una puntuación por valor q puntos, la puntuación más alta que no puede obtener (norte) es dado por:
N = pq \; - \; (p + q)
Entonces, al agregar los valores del problema del Super Bowl se obtiene:
\ begin {alineado} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ end {alineado}
Cuál es la respuesta que obtuvimos de la manera lenta. Entonces, ¿qué pasaría si solo pudiera anotar touchdowns sin conversión (6 puntos) y touchdowns con conversiones de un punto (7 puntos)? Vea si puede usar la fórmula para resolverlo antes de seguir leyendo.
En este caso, la fórmula se convierte en:
\ begin {alineado} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ end {alineado}
El problema de Chicken McNugget
Así que el juego ha terminado y quieres recompensar al equipo ganador con un viaje a McDonald's. Pero solo venden McNuggets en cajas de 9 o 20. Entonces, ¿cuál es la mayor cantidad de pepitas que hipocresía comprar con estos números de caja (obsoletos)? Intente usar la fórmula para encontrar la respuesta antes de seguir leyendo.
Desde
N = pq \; - \; (p + q)
Y con pag = 9 y q = 20:
\ begin {alineado} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ end {alineado}
Así que, siempre que compraras más de 151 pepitas (después de todo, el equipo ganador probablemente tendrá mucha hambre) podrías comprar cualquier cantidad de pepitas que quisieras con alguna combinación de cajas.
Quizás se pregunte por qué solo hemos cubierto versiones de dos números de este problema. ¿Qué pasa si incorporamos dispositivos de seguridad o si McDonalds vendiera tres tamaños de cajas de pepitas? Hay sin fórmula clara en este caso, y aunque la mayoría de las versiones se pueden resolver, algunos aspectos de la cuestión están completamente sin resolver.
Entonces, tal vez cuando estés viendo el juego o comiendo trozos de pollo del tamaño de un bocado, puedas afirmar que estás tratando de resolver un problema abierto en matemáticas; ¡vale la pena intentar salirse de las tareas domésticas!