Imagina que estás manejando un cañón, con el objetivo de derribar los muros de un castillo enemigo para que tu ejército pueda irrumpir y reclamar la victoria. Si sabes qué tan rápido viaja la bola cuando sale del cañón, y sabes qué tan lejos están las paredes, ¿en qué ángulo de lanzamiento necesitas disparar el cañón para golpear las paredes con éxito?
Este es un ejemplo de un problema de movimiento de proyectiles, y puedes resolver este y muchos problemas similares usando las ecuaciones de aceleración constante de la cinemática y algo de álgebra básica.
Movimiento de proyectilesAsí es como los físicos describen el movimiento bidimensional en el que la única aceleración que experimenta el objeto en cuestión es la constante aceleración descendente debida a la gravedad.
En la superficie de la Tierra, la aceleración constanteaes igual agramo= 9,8 m / s2, y un objeto en movimiento de proyectil está encaida librecon esto como la única fuente de aceleración. En la mayoría de los casos, tomará el camino de una parábola, por lo que el movimiento tendrá un componente tanto horizontal como vertical. Aunque tendría un efecto (limitado) en la vida real, afortunadamente la mayoría de los problemas de movimiento de proyectiles de física de la escuela secundaria ignoran el efecto de la resistencia del aire.
Puede resolver problemas de movimiento de proyectiles utilizando el valor degramoy alguna otra información básica sobre la situación en cuestión, como la velocidad inicial del proyectil y la dirección en la que viaja. Aprender a resolver estos problemas es esencial para aprobar la mayoría de las clases de introducción a la física, y también le presenta los conceptos y técnicas más importantes que necesitará en cursos posteriores.
Ecuaciones de movimiento de proyectiles
Las ecuaciones para el movimiento de proyectiles son las ecuaciones de aceleración constante de la cinemática, porque la aceleración de la gravedad es la única fuente de aceleración que debe considerar. Las cuatro ecuaciones principales que necesitará para resolver cualquier problema de movimiento de proyectiles son:
v = v_0 + en \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} en ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 como
Aquí,vsignifica velocidad,v0 es la velocidad inicial,aes la aceleración (que es igual a la aceleración hacia abajo degramoen todos los problemas de movimiento de proyectiles),ses el desplazamiento (desde la posición inicial) y como siempre tienes tiempo,t.
Técnicamente, estas ecuaciones son solo para una dimensión y, en realidad, podrían representarse mediante cantidades vectoriales (incluida la velocidadv, velocidad inicialv0 y así sucesivamente), pero en la práctica puede utilizar estas versiones por separado, una vez en elX-dirección y una vez en ely-dirección (y si alguna vez tuvo un problema tridimensional, en elz-dirección también).
Es importante recordar que estos sonutilizado solo para aceleración constante, lo que los hace perfectos para describir situaciones en las que la influencia de la gravedad es la única aceleración, pero inadecuada para muchas situaciones del mundo real donde se necesitan fuerzas adicionales considerado.
Para situaciones básicas, esto es todo lo que necesita para describir el movimiento de un objeto, pero si es necesario, puede incorporar otras factores, como la altura desde la que se lanzó el proyectil o incluso resolverlos para el punto más alto del proyectil en su camino.
Resolver problemas de movimiento de proyectiles
Ahora que ha visto las cuatro versiones de la fórmula de movimiento de proyectiles que necesitará utilizar para resolver problemas, puede empezar a pensar en la estrategia que utiliza para resolver un movimiento de proyectil problema.
El enfoque básico es dividir el problema en dos partes: una para el movimiento horizontal y otra para el movimiento vertical. Esto se denomina técnicamente componente horizontal y componente vertical, y cada uno tiene un conjunto correspondiente de cantidades, como la velocidad horizontal, la velocidad vertical, el desplazamiento horizontal, el desplazamiento vertical y pronto.
Con este enfoque, puede utilizar las ecuaciones cinemáticas, teniendo en cuenta que el tiempotes el mismo para los componentes horizontal y vertical, pero cosas como la velocidad inicial tendrán diferentes componentes para la velocidad vertical inicial y la velocidad horizontal inicial.
Lo crucial de entender es que para el movimiento bidimensional,algunaEl ángulo de movimiento se puede dividir en un componente horizontal y un componente vertical, pero cuando haces esto, habrá una versión horizontal de la ecuación en cuestión y una vertical versión.
Descuidar los efectos de la resistencia del aire simplifica enormemente los problemas de movimiento de los proyectiles porque la dirección horizontal nunca tiene Aceleración en un problema de movimiento de proyectil (caída libre), ya que la influencia de la gravedad solo actúa verticalmente (es decir, hacia la superficie del Tierra).
Esto significa que el componente de velocidad horizontal es solo una velocidad constante, y el movimiento solo se detiene cuando la gravedad lleva el proyectil al nivel del suelo. Esto se puede utilizar para determinar el tiempo de vuelo, porque depende completamente de lay-movimiento de dirección y se puede resolver completamente en función del desplazamiento vertical (es decir, el tiempotcuando el desplazamiento vertical es cero te indica la hora del vuelo).
Trigonometría en problemas de movimiento de proyectiles
Si el problema en cuestión le da un ángulo de lanzamiento y una velocidad inicial, necesitará usar trigonometría para encontrar los componentes de velocidad horizontal y vertical. Una vez que haya hecho esto, puede utilizar los métodos descritos en la sección anterior para resolver el problema.
Básicamente, creas un triángulo rectángulo con la hipotenusa inclinada en el ángulo de lanzamiento (θ) y la magnitud de la velocidad como la longitud, y luego el lado adyacente es el componente horizontal de la velocidad y el lado opuesto es la velocidad vertical.
Dibuja el triángulo rectángulo como se indica, y verás que encuentras los componentes horizontal y vertical usando las identidades trigonométricas:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {adyacente}} {\ text {hipotenusa}}
\ text {sin} \; θ = \ frac {\ text {opuesto}} {\ text {hipotenusa}}
Entonces estos se pueden reorganizar (y con opuesto =vy y adyacente =vX, es decir, el componente de velocidad vertical y los componentes de velocidad horizontal respectivamente, y la hipotenusa =v0, la velocidad inicial) para dar:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Esta es toda la trigonometría que necesitará hacer para abordar los problemas de movimiento de proyectiles: conectar el ángulo de lanzamiento en el ecuación, usando las funciones seno y coseno en su calculadora y multiplicando el resultado por la rapidez inicial del proyectil.
Entonces, para ver un ejemplo de cómo hacer esto, con una velocidad inicial de 20 m / sy un ángulo de lanzamiento de 60 grados, los componentes son:
\ begin {alineado} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ text {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ text {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ text {m / s} \ end {alineado}
Ejemplo de problema de movimiento de proyectiles: explosión de fuegos artificiales
Imagine que un fuego artificial tiene un fusible diseñado para que explote en el punto más alto de su trayectoria y se lance con una velocidad inicial de 60 m / s en un ángulo de 70 grados con la horizontal.
¿Cómo calcularías qué alturahexplota en? ¿Y cuál sería el tiempo desde el lanzamiento cuando explote?
Este es uno de los muchos problemas que involucran la altura máxima de un proyectil, y el truco para resolverlos es notar que a la altura máxima, ely-componente de la velocidad es 0 m / s por un instante. Al introducir este valor paravy y eligiendo la más apropiada de las ecuaciones cinemáticas, puede abordar este y cualquier problema similar fácilmente.
Primero, mirando las ecuaciones cinemáticas, esta salta (con subíndices agregados para mostrar que estamos trabajando en la dirección vertical):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Esta ecuación es ideal porque ya conoces la aceleración (ay = -gramo), la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento (para que pueda calcular el componente verticalvy0). Dado que buscamos el valor desy (es decir, la alturah) Cuándovy = 0, podemos sustituir cero por el componente de velocidad vertical final y reorganizar parasy:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Dado que tiene sentido llamar a la dirección ascendentey, y dado que la aceleración debida a la gravedadgramose dirige hacia abajo (es decir, en el -ydirección), podemos cambiaray por -gramo. Finalmente, llamandosy la alturah, podemos escribir:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Entonces, lo único que necesita trabajar para resolver el problema es el componente vertical de la velocidad inicial, lo que puede hacer usando el enfoque trigonométrico de la sección anterior. Entonces, con la información de la pregunta (60 m / sy 70 grados hasta el lanzamiento horizontal), esto da:
\ begin {alineado} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ text {m / s} \ end {alineado}
Ahora puedes resolver la altura máxima:
\ begin {alineado} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56,38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9.8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162.19 \ text {m} \ end {alineado}
Entonces, los fuegos artificiales explotarán a aproximadamente 162 metros del suelo.
Continuando con el ejemplo: tiempo de vuelo y distancia recorrida
Después de resolver los conceptos básicos del problema del movimiento de proyectiles basado únicamente en el movimiento vertical, el resto del problema se puede resolver fácilmente. En primer lugar, el tiempo desde el lanzamiento que explota el fusible se puede encontrar utilizando una de las otras ecuaciones de aceleración constante. Mirando las opciones, la siguiente expresión:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
tiene el tiempot, que es lo que quieres saber; el desplazamiento, que conoce para el punto máximo del vuelo; la velocidad vertical inicial; y la velocidad en el momento de la altura máxima (que sabemos que es cero). Entonces, en base a esto, la ecuación se puede reorganizar para dar una expresión para el tiempo de vuelo:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Entonces, insertando los valores y resolviendo paratda:
\ begin {alineado} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ text {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5.75 \; \ text {s} \ end {alineado}
Entonces, los fuegos artificiales explotarán 5.75 segundos después del lanzamiento.
Finalmente, puede determinar fácilmente la distancia horizontal recorrida en función de la primera ecuación, que (en la dirección horizontal) establece:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Sin embargo, teniendo en cuenta que no hay aceleración en elX-dirección, esto es simplemente:
v_x = v_ {0x}
Lo que significa que la velocidad en elXLa dirección es la misma a lo largo del viaje de los fuegos artificiales. Dado quev = D/t, dóndeDes la distancia recorrida, es fácil ver queD = Vermont, y así en este caso (consX = D):
s_x = v_ {0x} t
Entonces puedes reemplazarv0x con la expresión trigonométrica de antes, ingrese los valores y resuelva:
\ begin {alineado} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5.75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {alineado}
Por lo que viajará alrededor de 118 m antes de la explosión.
Problema adicional de movimiento de proyectiles: los fuegos artificiales Dud
Para solucionar un problema adicional, imagine los fuegos artificiales del ejemplo anterior (velocidad inicial de 60 m / s lanzada a 70 grados con respecto a la horizontal) no explotó en el pico de su parábola y, en cambio, aterriza en el suelo. no explotado. ¿Puede calcular el tiempo total de vuelo en este caso? ¿Qué tan lejos del lugar de lanzamiento en la dirección horizontal aterrizará, o en otras palabras, cuál es eldistanciadel proyectil?
Este problema funciona básicamente de la misma manera, donde los componentes verticales de velocidad y desplazamiento son las principales cosas que debe considerar para determinar el tiempo de vuelo, y a partir de eso puede determinar el distancia. En lugar de trabajar en la solución en detalle, puede resolverlo usted mismo basándose en el ejemplo anterior.
Hay fórmulas para el alcance de un proyectil, que puede buscar o derivar de las ecuaciones de aceleración constante, pero esto no es realmente necesario porque ya conoce la altura máxima del proyectil, y desde este punto está en caída libre bajo el efecto de gravedad.
Esto significa que puede determinar el tiempo que los fuegos artificiales tardan en volver al suelo y luego agregarlo al tiempo de vuelo a la altura máxima para determinar el tiempo total de vuelo. A partir de entonces, es el mismo proceso de usar la velocidad constante en la dirección horizontal junto con el tiempo de vuelo para determinar el rango.
Demuestre que el tiempo de vuelo es de 11,5 segundos y el alcance es de 236 m, y tenga en cuenta que deberá calcular la componente vertical de la velocidad en el punto en el que golpea el suelo como intermedio paso.