Avectores una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección asociadas. Esto es diferente a unescalarcantidad, que solo corresponde a una magnitud. La velocidad es un ejemplo de una cantidad vectorial. Tiene una magnitud (qué tan rápido va algo) y una dirección (la dirección en la que viaja).
Los vectores a menudo se dibujan como flechas. La longitud de la flecha corresponde a la magnitud del vector y la punta de la flecha indica la dirección.
Hay dos formas de trabajar con la suma y la resta de vectores. La primera es gráficamente, manipulando los diagramas de flechas de los propios vectores. El segundo es matemático, que da resultados exactos.
Suma y resta de vectores gráficos en una dimensión
Al agregar dos vectores, coloca la cola del segundo vector en la punta del primer vector mientras mantiene la orientación del vector. Lavector resultantees un vector que comienza en la cola del primer vector y apunta en línea recta a la punta del segundo vector.
Por ejemplo, considere agregar vectores
AyBque apuntan en la misma dirección a lo largo de una línea. Los colocamos "de punta a cola" y el vector resultante,C, apunta en la misma dirección y tiene una longitud que es la suma de las longitudes deAyB.Restar vectores en una dimensión es esencialmente lo mismo que sumar, excepto que "voltea" el segundo vector. Esto resulta directamente del hecho de que restar es lo mismo que sumar un negativo.
Suma y resta de vectores matemáticos en una dimensión
Cuando se trabaja en una dimensión, la dirección de un vector se puede indicar mediante un signo. Elegimos una dirección para que sea la dirección positiva (por lo general, "arriba" o "derecha" se eligen como positivas), y asignamos cualquier vector que apunte en esa dirección como una cantidad positiva. Cualquier vector que apunte en la dirección negativa es una cantidad negativa. Al sumar o restar vectores, sume o reste sus magnitudes con los signos apropiados adjuntos.
Supongamos en la sección anterior, vectorAtenía una magnitud de 3 y un vectorBtenía una magnitud de 5. Entonces el vector resultanteC = A + B =8, un vector de magnitud 8 apuntando en la dirección positiva, y el vector resultanteD = A - B =-2, un vector de magnitud 2 que apunta en la dirección negativa. Tenga en cuenta que esto es coherente con los resultados gráficos anteriores.
Sugerencia: tenga cuidado de agregar solo vectores del mismo tipo: velocidad + velocidad, fuerza + fuerza, etc. Como ocurre con todas las matemáticas en física, ¡las unidades deben coincidir!
Suma y resta de vectores gráficos en dos dimensiones
Si el primer vector y el segundo vector no están a lo largo de la misma línea en el espacio cartesiano, puede usar el mismo método de “punta a cola” para sumarlos o restarlos. Para agregar dos vectores, simplemente imagine levantando el segundo y colocando su cola en la punta del primero mientras mantiene su orientación como se muestra. El vector resultante es una flecha que comienza en la cola del primer vector y termina en la punta del segundo vector:
Al igual que en una dimensión, restar un vector de otro es equivalente a voltear y sumar. Gráficamente, esto se parece a lo siguiente:
•••Dana Chen | Ciencia
Nota: A veces, la suma de vectores se muestra gráficamente al juntar las colas de los dos vectores sumadores y crear un paralelogramo. El vector resultante es entonces la diagonal de este paralelogramo.
Suma y resta de vectores matemáticos en dos dimensiones
Para sumar y restar vectores en dos dimensiones matemáticamente, siga estos pasos:
Descomponer cada vector en unX-componente, a veces llamado componente horizontal, y uny-componente, a veces llamado componente vertical, mediante trigonometría. (Tenga en cuenta que los componentes pueden ser negativos o positivos según la dirección en la que apunte el vector)
Añade elX-componentes de ambos vectores juntos, y luego sume ely-componentes de ambos vectores juntos. Este resultado te da laXyycomponentes del vector resultante.
La magnitud del vector resultante se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras.
La dirección del vector resultante se puede encontrar mediante trigonometría utilizando la función de tangente inversa. Esta dirección se da típicamente como un ángulo con respecto al positivo.X-eje.
Trigonometría en la suma de vectores
Recuerda las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo a partir de la trigonometría.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Teorema de pitágoras:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
El movimiento de proyectiles proporciona ejemplos clásicos de cómo podríamos usar estas relaciones para descomponer un vector y determinar la magnitud final y la dirección de un vector.
Considere a dos personas jugando a atrapar. Suponga que le dicen que la pelota se lanza desde una altura de 1.3 m con una rapidez de 16 m / s en un ángulo de 50 grados con la horizontal. Para comenzar a analizar este problema, deberá descomponer este vector de velocidad inicial enXyycomponentes como se muestra:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ times \ cos (50) = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ times \ sin (50) = 12,3 \ text {m / s}
Si el receptor falla la pelota y golpea el suelo, ¿con qué velocidad final golpeará?
Usando ecuaciones cinemáticas, podemos determinar que los componentes finales de la velocidad de la pelota son:
v_ {xf} = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13,3 \ text {m / s}
El teorema de Pitágoras nos permite encontrar la magnitud:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
Y la trigonometría nos permite determinar el ángulo:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Grande (\ frac {-13,3} {10,3} \ Grande) = - 52,2 \ grado
Ejemplo de suma y resta de vectores
Considere un automóvil al doblar una esquina. SuponervIporque el coche está en elX-dirección con magnitud 10 m / s, yvFestá en un ángulo de 45 grados con el positivoX-eje con magnitud 10 m / s. Si este cambio de movimiento ocurre en 3 segundos, ¿cuál es la magnitud y la dirección de la aceleración del automóvil al girar?
Recuerda esa aceleraciónaes una cantidad vectorial definida como:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
DóndevFyvIson velocidades final e inicial respectivamente (y, por tanto, también son cantidades vectoriales).
Para calcular la diferencia vectorialvF - vI,primero debemos descomponer los vectores de velocidad inicial y final:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7.07 \ text {m / s}
Luego restamos el finalXyycomponentes de la inicialXyycomponentes para obtener componentes devF - vI:
Luego restamos elXyycomponentes:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7.07 \ text {m / s}
Luego divida cada uno por tiempo para obtener las componentes del vector de aceleración:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
Utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud del vector de aceleración:
a = \ sqrt {(- 0.977) ^ 2 + (2.36) ^ 2} = 2.55 \ text {m / s} ^ 2
Finalmente, use la trigonometría para encontrar la dirección del vector de aceleración:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Grande (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Grande) = 113 \ grados