Las ecuaciones cinemáticas describen el movimiento de un objeto que experimenta una aceleración constante. Estas ecuaciones relacionan las variables de tiempo, posición, velocidad y aceleración de un objeto en movimiento, permitiendo resolver cualquiera de estas variables si se conocen las demás.
A continuación se muestra una descripción de un objeto que experimenta un movimiento de aceleración constante en una dimensión. La variable t es por tiempo, la posición es X, velocidad v y aceleración a. Los subíndices I y F representan "inicial" y "final" respectivamente. Se asume que t = 0 en XI y vI.
(Insertar imagen 1)
Lista de ecuaciones cinemáticas
Hay tres ecuaciones cinemáticas primarias enumeradas a continuación que se aplican cuando se trabaja en una dimensión. Estas ecuaciones son:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + en \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 en ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Notas sobre las ecuaciones cinemáticas
- Estas ecuaciones solo funcionan con una aceleración constante (que puede ser cero en el caso de velocidad constante).
- Dependiendo de la fuente que lea, es posible que las cantidades finales no tengan un subíndice F, y / o puede representarse en notación de función como x (t) - leer "X en función del tiempo ”o“X en el momento t" - y v (t). Tenga en cuenta que x (t) no quiere decir X multiplicado por t!
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A veces la cantidad XF - XI está escrito
Δx, que significa "el cambio en X, "O incluso simplemente como D, que significa desplazamiento. Todos son equivalentes. La posición, la velocidad y la aceleración son cantidades vectoriales, lo que significa que tienen una dirección asociada. En una dimensión, la dirección generalmente se indica mediante signos: las cantidades positivas están en la dirección positiva y las cantidades negativas están en la dirección negativa. Subíndices: "0" podría usarse para la posición inicial y la velocidad en lugar de I. Este "0" significa "en t = 0, "y X0 y v0 normalmente se pronuncian "x-nada" y "v-nada". * Solo una de las ecuaciones no incluye el tiempo. Al escribir datos y determinar qué ecuación usar, ¡esta es la clave!
Un caso especial: caída libre
El movimiento de caída libre es el movimiento de un objeto que se acelera debido únicamente a la gravedad en ausencia de resistencia del aire. Se aplican las mismas ecuaciones cinemáticas; sin embargo, se conoce el valor de aceleración cerca de la superficie de la Tierra. La magnitud de esta aceleración a menudo está representada por gramo, donde g = 9,8 m / s2. La dirección de esta aceleración es hacia abajo, hacia la superficie de la Tierra. (Tenga en cuenta que algunas fuentes pueden aproximarse gramo como 10 m / s2, y otros pueden usar un valor con una precisión de más de dos lugares decimales).
Estrategia de resolución de problemas para problemas de cinemática en una dimensión:
Dibuje un diagrama de la situación y elija un sistema de coordenadas apropiado. (Recordar que X, v y a son todas cantidades vectoriales, por lo que al asignar una dirección positiva clara, será más fácil realizar un seguimiento de los signos).
Escribe una lista de cantidades conocidas. (Tenga en cuenta que a veces los conocimientos no son obvios. Busque frases como "comienza desde el descanso", lo que significa que vI = 0, o "golpea el suelo", lo que significa que XF = 0, y así sucesivamente.)
Determina qué cantidad quiere la pregunta que encuentres. ¿Cuál es la incógnita para la que estarás resolviendo?
Elija la ecuación cinemática adecuada. Esta será la ecuación que contiene la cantidad desconocida junto con las cantidades conocidas.
Resuelve la ecuación para la cantidad desconocida, luego ingresa los valores conocidos y calcula la respuesta final. (¡Cuidado con las unidades! A veces, necesitará convertir unidades antes de calcular).
Ejemplos de cinemática unidimensional
Ejemplo 1: Un anuncio afirma que un automóvil deportivo puede pasar de 0 a 60 mph en 2.7 segundos. ¿Cuál es la aceleración de este automóvil en m / s?2? ¿Qué distancia recorre durante estos 2,7 segundos?
Solución:
(Insertar imagen 2)
Cantidades conocidas y desconocidas:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
La primera parte de la pregunta requiere resolver la aceleración desconocida. Aquí podemos usar la ecuación # 1:
v_f = v_i + en \ implica a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Sin embargo, antes de introducir números, debemos convertir 60 mph en m / s:
60 \ cancelar {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ cancel {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26.8 \ text {m / s}
Entonces la aceleración es entonces:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ underline {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}
Para encontrar qué tan lejos llega en ese tiempo, podemos usar la ecuación # 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 en ^ 2 = \ frac 1 2 \ times 9.93 \ times 2.7 ^ 2 = \ underline {\ bold {36.2} \ text {m}}
Ejemplo 2: Se lanza una pelota a una velocidad de 15 m / s desde una altura de 1,5 m. ¿Qué tan rápido va cuando golpea el suelo? ¿Cuánto tiempo se tarda en tocar el suelo?
Solución:
(Insertar imagen 3)
Cantidades conocidas y desconocidas:
x_i = 1.5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9.8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Para resolver la primera parte, podemos usar la ecuación # 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ implica v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Todo ya está en unidades consistentes, por lo que podemos agregar valores:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5)} = \ pm \ sqrt {254.4} \ approx \ pm16 \ text {m / s}
Aquí hay dos soluciones. Cual es la correcta? De nuestro diagrama, podemos ver que la velocidad final debe ser negativa. Entonces la respuesta es:
v_f = \ underline {\ bold {-16} \ text {m / s}}
Para resolver el tiempo, podemos usar la ecuación n. ° 1 o la ecuación n. ° 2. Dado que la ecuación # 1 es más simple de trabajar, usaremos esa:
v_f = v_i + en \ implica t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ approx \ underline {\ bold {3.2} \ text {s }}
Tenga en cuenta que la respuesta a la primera parte de esta pregunta no fue 0 m / s. Si bien es cierto que después de que la pelota aterrice, tendrá velocidad 0, esta pregunta quiere saber qué tan rápido va en esa fracción de segundo antes del impacto. Una vez que la pelota hace contacto con el suelo, nuestras ecuaciones cinemáticas ya no se aplican porque la aceleración no será constante.
Ecuaciones cinemáticas para el movimiento de proyectiles (dos dimensiones)
Un proyectil es un objeto que se mueve en dos dimensiones bajo la influencia de la gravedad de la Tierra. Su trayectoria es una parábola porque la única aceleración se debe a la gravedad. Las ecuaciones cinemáticas para el movimiento de proyectiles toman una forma ligeramente diferente de las ecuaciones cinemáticas enumeradas anteriormente. Usamos el hecho de que los componentes de movimiento que son perpendiculares entre sí, como la horizontal X dirección y la vertical y dirección - son independientes.
Estrategia de resolución de problemas para problemas de cinemática de movimiento de proyectiles:
Dibuja un diagrama de la situación. Al igual que con el movimiento unidimensional, es útil dibujar el escenario e indicar el sistema de coordenadas. En lugar de usar las etiquetas X, v y a para la posición, la velocidad y la aceleración, necesitamos una forma de etiquetar el movimiento en cada dimensión por separado.
Para la dirección horizontal, es más común usar X para la posición y vX para la componente x de la velocidad (tenga en cuenta que la aceleración es 0 en esta dirección, por lo que no necesitamos una variable para ella). y dirección, es más común usar y para la posición y vy para el componente y de la velocidad. La aceleración se puede etiquetar ay o podemos usar el hecho de que sabemos que la aceleración debida a la gravedad es gramo en la dirección y negativa, y utilícelo en su lugar.
Escribe una lista de cantidades conocidas y desconocidas dividiendo el problema en dos secciones: movimiento vertical y horizontal. Utilice la trigonometría para encontrar los componentes x e y de cualquier cantidad vectorial que no se encuentre a lo largo de un eje. Puede ser útil enumerar esto en dos columnas:
(insertar tabla 1)
Nota: Si la velocidad se da como una magnitud junto con un ángulo, Ѳ, por encima de la horizontal, luego use la descomposición vectorial, vX= vcos (Ѳ) y vy= vsin (Ѳ).
Podemos considerar nuestras tres ecuaciones cinemáticas de antes y adaptarlas a las direcciones xey respectivamente.
Dirección X:
x_f = x_i + v_xt
Dirección Y:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Tenga en cuenta que la aceleracin en el y La dirección es -g si asumimos que up es positivo. Un error común es que g = -9.8 m / s2, pero esto es incorrecto; gramo en sí mismo es simplemente la magnitud de la aceleración: g = 9,8 m / s2, por lo que debemos especificar que la aceleración es negativa.
Resuelva una incógnita en una de esas dimensiones y luego conecte lo que es común en ambas direcciones. Si bien el movimiento en las dos dimensiones es independiente, ocurre en la misma escala de tiempo, por lo que la variable de tiempo es la misma en ambas dimensiones. (El tiempo que le toma a la pelota experimentar su movimiento vertical es el mismo que la cantidad de tiempo que tarda en experimentar su movimiento horizontal).
Ejemplos de cinemática de movimiento de proyectiles
Ejemplo 1: Se lanza un proyectil horizontalmente desde un acantilado de 20 m de altura con una velocidad inicial de 50 m / s. ¿Cuánto tiempo se tarda en tocar el suelo? ¿A qué distancia de la base del acantilado aterriza?
(insertar imagen 4)
Cantidades conocidas y desconocidas:
(insertar tabla 2)
Podemos encontrar el tiempo que se tarda en golpear el suelo utilizando la segunda ecuación de movimiento vertical:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ implica t = \ sqrt {\ frac {(2 \ times 20)} g} = \ underline {\ bold {2.02} \ text {s} }
Entonces para encontrar donde aterriza XF, podemos usar la ecuación de movimiento horizontal:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ underline {\ bold {101} \ text {s}}
Ejemplo 2: Se lanza una pelota a 100 m / s desde el nivel del suelo en un ángulo de 30 grados con la horizontal. ¿Dónde aterriza? ¿Cuándo es su velocidad la más pequeña? ¿Cuál es su ubicación en este momento?
(insertar imagen 5)
Cantidades conocidas y desconocidas:
Primero necesitamos dividir el vector de velocidad en componentes:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ approx 86.6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ texto {m / s}
Nuestra tabla de cantidades es entonces:
(insertar tabla 3)
Primero necesitamos encontrar el tiempo que la bola está en vuelo. Podemos hacer esto con la segunda ecuación vertical_. Tenga en cuenta que usamos la simetría de la parábola para determinar que el _y final la velocidad es el negativo de la inicial:
Luego determinamos qué tan lejos se mueve en el X dirección en este tiempo:
x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ times 10.2 \ approx \ underline {\ bold {883} \ text m}
Usando la simetría de la trayectoria parabólica, podemos determinar que la velocidad es la más pequeña en 5,1 segundos, cuando el proyectil está en el pico de su movimiento y la componente vertical de la velocidad es 0. Las componentes xey de su movimiento en este momento son:
x_f = x_i + v_xt = 86.6 \ times 5.1 \ approx \ underline {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ times5.1- \ frac 1 2 9.8 \ times 5.1 ^ 2 \ approx \ underline {\ bold {128} \ text {m}}
Derivación de ecuaciones cinemáticas
Ecuación # 1: Si la aceleración es constante, entonces:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Resolviendo la velocidad, tenemos:
v_f = v_i + en
Ecuación # 2: La velocidad media se puede escribir de dos formas:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Si reemplazamos _vF _con la expresión de la ecuación # 1, obtenemos:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + en) + v_i)} {2}
Resolviendo para XF da:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 en ^ 2
Ecuación # 3: Comience resolviendo para t en la ecuación # 1
v_f = v_i + en \ implica t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Conecte esta expresión para t en la relación de velocidad promedio:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ implica \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Reorganizar esta expresión da:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)