Las oscilaciones nos rodean, desde el mundo macroscópico de los péndulos y la vibración de las cuerdas hasta el mundo microscópico del movimiento de los electrones en los átomos y la radiación electromagnética.
Un movimiento como este que experimenta un patrón repetitivo predecible se conoce comomovimiento periódicoomovimiento oscilatorio, y aprender sobre las cantidades que le permiten describir cualquier tipo de movimiento oscilatorio es un paso clave en el aprendizaje de la física de estos sistemas.
Un tipo particular de movimiento periódico que es fácil de describir matemáticamente esmovimiento armónico simple, pero una vez que haya entendido los conceptos clave, es fácil generalizar a sistemas más complejos.
Movimiento periódico
El movimiento periódico, o simplemente el movimiento repetido, se define mediante tres cantidades clave: amplitud, período y frecuencia. Laamplitud Ade cualquier movimiento periódico es el desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio (que puedes pensar en como la posición de "reposo", como la posición estacionaria de una cuerda o el punto más bajo en un péndulo camino).
Laperíodo Tde cualquier movimiento oscilatorio es el tiempo que tarda el objeto en completar un "ciclo" de movimiento. Por ejemplo, un péndulo en un reloj podría completar un ciclo completo cada dos segundos, por lo que habríaT= 2 s.
Lafrecuencia Fes la inversa del período, o en otras palabras, el número de ciclos completados por segundo (o unidad de tiempo,t). Para el péndulo de un reloj, completa medio ciclo por segundo, por lo que tieneF= 0,5 Hz, donde 1 hercio (Hz) significa una oscilación por segundo.
Movimiento armónico simple (SHM)
El movimiento armónico simple (SHM) es un caso especial de movimiento periódico, donde la única fuerza es una fuerza restauradora y el movimiento es una oscilación simple. Una de las propiedades básicas de SHM es que la fuerza de restauración es directamente proporcional al desplazamiento desde la posición de equilibrio.
Volviendo al ejemplo de una cuerda que se toca, cuanto más la tire de la posición de reposo, más rápido se moverá hacia ella. La otra propiedad importante del movimiento armónico simple es que la amplitud es independiente de la frecuencia y el período del movimiento.
El caso más simple de movimiento armónico simple es cuando el movimiento oscilatorio es solo en una dirección (es decir, movimiento hacia adelante y hacia atrás), pero usted puede modelar otros tipos de movimiento (por ejemplo, movimiento circular) como una combinación de múltiples casos de movimiento armónico simple en diferentes direcciones, también.
Algunos ejemplos de movimiento armónico simple incluyen una masa en un resorte que se balancea hacia arriba y hacia abajo como resultado de una extensión o compresión del resorte, un péndulo de ángulo pequeño meciéndose hacia atrás y hacia adelante bajo la influencia de la gravedad e incluso ejemplos bidimensionales de movimiento circular como un niño en un carrusel o tiovivo.
Ecuaciones de movimiento para osciladores armónicos simples
Como se señaló en la sección anterior, existe una relación interesante entre el movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple. Imagine un punto en un círculo que gira a una velocidad constante sobre un eje fijo, y que estaba siguiendo elX-coordinado de este punto a lo largo de su movimiento circular.
Las ecuaciones que describen elXposición,Xvelocidad yXLa aceleración de este punto describe el movimiento de un oscilador armónico simple. UtilizandoX(t) para la posición en función del tiempo,v(t) para la velocidad en función del tiempo ya(t) para la aceleración en función del tiempo, las ecuaciones son:
x (t) = A \ sin (ωt) \\ v (t) = −Aω \ cos (ωt) \\ a (t) = −Aω ^ 2 \ sin (ωt)
Dóndeωes la frecuencia angular (relacionada con la frecuencia ordinaria porω = 2πF) en unidades de radianes por segundo, y usamos el tiempotcomo en la mayoría de las ecuaciones. Como se indicó en la primera sección,Aes la amplitud del movimiento.
A partir de estas definiciones, puede caracterizar el movimiento armónico simple y el movimiento oscilatorio en general. Por ejemplo, puede ver en la función seno en las ecuaciones de posición y aceleración que estas dos varían juntas, por lo que la aceleración máxima ocurre en el desplazamiento máximo. La ecuación de velocidad depende del coseno, que toma su valor máximo (absoluto) exactamente a mitad de camino entre la aceleración (o desplazamiento) máxima en elXo -Xdirección, o en otras palabras, en la posición de equilibrio.
Misa en un manantial
La ley de Hooke describe una forma de movimiento armónico simple para un resorte y establece que la fuerza de restauración del resorte es proporcional al desplazamiento desde el equilibrio (∆X, es decir, cambio enX), y tiene una "constante de proporcionalidad" llamada constante de resorte,k. En símbolos, la ecuación dice:
F_ {resorte} = −k∆x
El signo negativo aquí le dice que la fuerza es una fuerza restauradora, que actúa en la dirección opuesta al desplazamiento y se mide en la unidad de fuerza SI, el newton (N).
Para una misametroen un resorte, el desplazamiento máximo (amplitud) se llama nuevamenteA, yωSe define como:
ω = \ sqrt {\ frac {k} {m}}
Esta ecuación se puede usar con la ecuación de posición para movimiento armónico simple (para encontrar la posición de la masa en cualquier momento), y luego sustituirse en el lugar de ∆Xen la ley de Hooke para determinar el tamaño de la fuerza restauradora en cualquier momentot. La relación completa para la fuerza restauradora sería:
F_ {resorte} = −k A \ sin \ bigg (\ sqrt {\ frac {k} {m}} t \ bigg)
Péndulo de ángulo pequeño
Para un péndulo de ángulo pequeño, la fuerza de restauración es proporcional al desplazamiento angular máximo (es decir, el cambio desde la posición de equilibrio expresado como un ángulo). Aquí la amplitudAes el ángulo máximo del péndulo yωSe define como:
ω = \ sqrt {\ frac {g} {L}}
Dóndegramo= 9,81 m / s2 yLes la longitud del péndulo. Nuevamente, esto se puede sustituir en las ecuaciones de movimiento para el movimiento armónico simple, excepto que debe tener en cuenta queXen este caso, se referiría a laangulardesplazamiento en lugar del desplazamiento lineal en eldirección x. Esto a veces se indica mediante el símbolo theta (θ) en lugar delXen este caso.
Oscilaciones amortiguadas
En muchos casos en física, las complicaciones como la fricción se descuidan para simplificar los cálculos en situaciones en las que probablemente serían insignificantes de todos modos. Hay expresiones que puede usar si necesita calcular un caso en el que la fricción se vuelve importante, pero el punto clave para Recuerde es que teniendo en cuenta la fricción, las oscilaciones se "amortiguan", lo que significa que disminuyen en amplitud con cada oscilación. Sin embargo, el período y la frecuencia de la oscilación permanecen sin cambios incluso en presencia de fricción.
Oscilaciones forzadas y resonancia
La resonancia es básicamente lo opuesto a una oscilación amortiguada. Todos los objetos tienen una frecuencia natural, a la que "les gusta" oscilar, y si la oscilación es forzada o impulsada a esta frecuencia (por una fuerza periódica), la amplitud del movimiento aumentará. La frecuencia a la que se produce la resonancia se denomina frecuencia de resonancia y, en general, todos los objetos tienen su propia frecuencia de resonancia, que depende de sus características físicas.
Al igual que con la amortiguación, calcular el movimiento en estas circunstancias se vuelve más complicado, pero es posible si está abordando un problema que lo requiere. Sin embargo, comprender los aspectos clave de cómo se comporta el objeto en estas situaciones es suficiente para la mayoría de los propósitos, especialmente si es la primera vez que aprendes sobre la física de oscilaciones!