Leyes del movimiento pendular

Los péndulos tienen propiedades interesantes que los físicos usan para describir otros objetos. Por ejemplo, la órbita planetaria sigue un patrón similar y balancearse en un columpio puede sentirse como si estuviera en un péndulo. Estas propiedades provienen de una serie de leyes que gobiernan el movimiento del péndulo. Al aprender estas leyes, puede comenzar a comprender algunos de los principios básicos de la física y del movimiento en general.

El movimiento de un péndulo se puede describir usando

en el cualθrepresenta el ángulo entre la cuerda y la línea vertical en el centro,trepresenta el tiempo, yTes el período, el tiempo necesario para que ocurra un ciclo completo del movimiento del péndulo (medido por1 / f), del movimiento de un péndulo.

​Movimiento armónico simple, o movimiento que describe cómo la velocidad de un objeto oscila proporcionalmente a la cantidad de desplazamiento desde el equilibrio, se puede usar para describir la ecuación de un péndulo. La oscilación de un péndulo se mantiene en movimiento por esta fuerza que actúa sobre él mientras se mueve hacia adelante y hacia atrás.

•••Syed Hussain Ather

Las leyes que gobiernan el movimiento del péndulo llevaron al descubrimiento de una propiedad importante. Los físicos dividen las fuerzas en componentes verticales y horizontales. En movimiento pendular,tres fuerzas actúan directamente sobre el péndulo: la masa del bob, la gravedad y la tensión en la cuerda. Tanto la masa como la gravedad trabajan verticalmente hacia abajo. Dado que el péndulo no se mueve hacia arriba ni hacia abajo, el componente vertical de la tensión de la cuerda anula la masa y la gravedad.

Esto muestra que la masa de un péndulo no tiene relevancia para su movimiento, pero la tensión de la cuerda horizontal sí. El movimiento armónico simple es similar al movimiento circular. Puede describir un objeto que se mueve en una trayectoria circular como se muestra en la figura anterior determinando el ángulo y el radio que toma en su trayectoria circular correspondiente. Luego, usando la trigonometría del triángulo rectángulo entre el centro del círculo, la posición del objeto y el desplazamiento en ambas direcciones xey, puede encontrar ecuacionesx = rsin (θ)yy = rcos (θ).​

La ecuación unidimensional de un objeto en movimiento armónico simple está dada porx = r cos (ωt).Puede sustituir aún másAporren el cualAes elamplitud, el desplazamiento máximo desde la posición inicial del objeto.

La velocidad angularωcon respecto al tiempotpara estos ángulosθes dado porθ = ωt. Si sustituye la ecuación que relaciona la velocidad angular con la frecuenciaF​, ​ω = 2​​πf, puedes imaginar este movimiento circular, luego, como parte de un péndulo que se balancea hacia adelante y hacia atrás, la ecuación de movimiento armónico simple resultante es

•••Syed Hussain Ather

Los péndulos, como masas en un resorte, son ejemplos deosciladores armónicos simples: Hay una fuerza de restauración que aumenta según el desplazamiento del péndulo, y su movimiento se puede describir utilizando elecuación de oscilador armónico simple​

en el cualθrepresenta el ángulo entre la cuerda y la línea vertical en el centro,trepresenta el tiempo yTes elperíodo, el tiempo necesario para que ocurra un ciclo completo del movimiento del péndulo (medido por1 / f), del movimiento de un péndulo.

​θ_maxes otra forma de definir el máximo que oscila el ángulo durante el movimiento del péndulo y es otra forma de definir la amplitud del péndulo. Este paso se explica a continuación en la sección "Definición de péndulo simple".

Otra implicación de las leyes de un péndulo simple es que el período de oscilación con longitud constante es independiente del tamaño, forma, masa y material del objeto en el extremo de la cuerda. Esto se muestra claramente a través de la derivación simple del péndulo y las ecuaciones que resultan.

Puede determinar la ecuación para unpéndulo simple, la definición que depende de un oscilador armónico simple, a partir de una serie de pasos que comienzan con la ecuación de movimiento de un péndulo. Debido a que la fuerza de gravedad de un péndulo es igual a la fuerza del movimiento del péndulo, puede igualarlos entre sí usando la segunda ley de Newton con una masa de pénduloMETRO, longitud de la cuerdaL, ánguloθ,aceleración gravitacionalgramoe intervalo de tiempot​.

•••Syed Hussain Ather

Establece la segunda ley de Newton igual al momento de inerciaYo = señor²para un poco de misametroy radio del movimiento circular (longitud de la cuerda en este caso)rveces la aceleración angularα​.

1. ​ΣF = Ma: La segunda ley de Newton establece que la fuerza netaΣFsobre un objeto es igual a la masa del objeto multiplicada por la aceleración.
2. ​Ma = yo α: Esto le permite establecer la fuerza de aceleración gravitacional (-Mg sin (θ) L)igual a la fuerza de la rotación
   
3. ​-Mg sin (θ) L = Yo α​: Puede obtener la dirección de la fuerza vertical debida a la gravedad (-Mg) calculando la aceleración comopecado (θ) LSipecado (θ) = d / Lpara algún desplazamiento horizontalDy ánguloθ​ para dar cuenta de la dirección.
   
4. ​-Mg sin (θ) L = ML² α: Sustituye la ecuación por el momento de inercia de un cuerpo en rotación usando la longitud de cuerda L como radio.
   
5. ​-Mg sin (θ) L = -ML²​​D²θ / dt: Tenga en cuenta la aceleración angular sustituyendo la segunda derivada del ángulo con respecto al tiempo porα.Este paso requiere cálculo y ecuaciones diferenciales.
   
6. ​D²θ / dt² + (g / L) sinθ = 0: Puede obtener esto reordenando ambos lados de la ecuación
   
7. ​D²θ / dt² + (g / L) θ = 0: Puede aproximarpecado (θ)comoθpara el propósito de un péndulo simple en ángulos de oscilación muy pequeños
   
8. ​θ (t) = θ_maxcos (t (L / g)²): La ecuación de movimiento tiene esta solución. Puede verificarlo tomando la segunda derivada de esta ecuación y trabajando para obtener el paso 7.

Hay otras formas de hacer una derivación pendular simple. Comprenda el significado de cada paso para ver cómo se relacionan. Puede describir un movimiento de péndulo simple utilizando estas teorías, pero también debe tener en cuenta otros factores que pueden afectar la teoría del péndulo simple.

Si compara el resultado de esta derivación

a la ecuación de un oscilador armónico simpleBy estableciéndolos iguales entre sí, puede derivar una ecuación para el período T:

Tenga en cuenta que esta ecuación no depende de la masaMETROdel péndulo, la amplitudθ_max, ni a la horat. Eso significa que el período es independiente de la masa, la amplitud y el tiempo, pero, en cambio, depende de la longitud de la cuerda. Le brinda una forma concisa de expresar el movimiento pendular.

Con la ecuación de un período, puede reorganizar la ecuación para obtener

y sustituya 1 segundo porTy9,8 m / s²porgramopara obtenerL =0,0025 m. Tenga en cuenta que estas ecuaciones de la teoría del péndulo simple suponen que la longitud de la cuerda no tiene fricción ni masa. Tener en cuenta esos factores requeriría ecuaciones más complicadas.

Puedes tirar del ángulo de retroceso del pénduloθdejarlo oscilar hacia adelante y hacia atrás para verlo oscilar como lo haría un resorte. Para un péndulo simple, puede describirlo usando ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico simple. La ecuación de movimiento funciona bien para valores más pequeños de ángulo yamplitud, el ángulo máximo, porque el modelo de péndulo simple se basa en la aproximación de quepecado (θ)​ ≈ ​θpara algún ángulo de pénduloθ.A medida que los valores de los ángulos y las amplitudes superan los 20 grados, esta aproximación no funciona tan bien.

Pruébelo usted mismo. Un péndulo que se balancea con un gran ángulo inicial.θno oscilará con tanta regularidad para permitirle usar un oscilador armónico simple para describirlo. En un ángulo inicial más pequeñoθ, el péndulo se aproxima mucho más fácilmente a un movimiento oscilatorio regular. Debido a que la masa de un péndulo no influye en su movimiento, los físicos han demostrado que todos los péndulos tienen el mismo período de oscilación. ángulos: el ángulo entre el centro del péndulo en su punto más alto y el centro del péndulo en su posición de parada: menos de 20 grados.

Para todos los propósitos prácticos de un péndulo en movimiento, el péndulo eventualmente desacelerará y se detendrá debido a la fricción entre la cuerda y su punto de sujeción arriba, así como debido a la resistencia del aire entre el péndulo y el aire alrededor.

Para ejemplos prácticos de movimiento de péndulo, el período y la velocidad dependerían del tipo de material utilizado que causaría estos ejemplos de fricción y resistencia del aire. Si realiza cálculos sobre el comportamiento oscilatorio teórico del péndulo sin tener en cuenta estas fuerzas, entonces tendrá en cuenta un péndulo que oscila infinitamente.

La primera ley de Newton define la velocidad de los objetos en respuesta a fuerzas. La ley establece que si un objeto se mueve a una velocidad específica y en línea recta, continuará moviéndose a esa velocidad y en línea recta, infinitamente, siempre que ninguna otra fuerza actúe sobre él. Imagínese lanzar una pelota directamente hacia adelante: la pelota daría la vuelta a la tierra una y otra vez si la resistencia del aire y la gravedad no actuaran sobre ella. Esta ley muestra que dado que un péndulo se mueve de lado a lado y no hacia arriba y hacia abajo, no tiene fuerzas hacia arriba y hacia abajo que actúen sobre él.

La segunda ley de Newton se utiliza para determinar la fuerza neta sobre el péndulo estableciendo la fuerza gravitacional igual a la fuerza de la cuerda que tira hacia arriba del péndulo. Establecer estas ecuaciones iguales entre sí le permite derivar las ecuaciones de movimiento para el péndulo.

La tercera ley de Newton establece que toda acción tiene una reacción de igual fuerza. Esta ley funciona con la primera ley que muestra que aunque la masa y la gravedad cancelan la componente vertical del vector de tensión de la cuerda, nada cancela la componente horizontal. Esta ley muestra que las fuerzas que actúan sobre un péndulo pueden anularse entre sí.

Los físicos usan la primera, segunda y tercera leyes de Newton para demostrar que la tensión de la cuerda horizontal mueve el péndulo sin importar la masa o la gravedad. Las leyes de un péndulo simple siguen las ideas de las tres leyes del movimiento de Newton.