Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός κωνικού χαρτιού

Αναρωτηθήκατε ποτέ πόσο νερό ή καφές μπορεί να χωρέσει σε ένα από αυτά τα φαινομενικά αμέτρητα πλαστικά ποτήρια μίας χρήσης, το είδος που είναι πιο στενό στη βάση από ό, τι στην κορυφή; Με άλλα λόγια, σχεδόν κάθε χαρτί, πλαστικό ή άλλο κύπελλο μίας χρήσης που έχετε δει ή χρησιμοποιήσει ποτέ; (Για να είμαστε δίκαιοι, ορισμένα κύπελλα δεν έχουν κεκλιμένες πλευρές και είναι έτσι κυλινδρικά, αλλά αυτό φαίνεται να ισχύει μόνο για μόνιμος φλιτζάνια.)

Ο τύπος σχήματος που περιγράφεται παραπάνω βασίζεται σε ένα κώνος, που είναι το αποτέλεσμα μιας γραμμής που σαρώνει το διάστημα και εντοπίζει μια καμπύλη διαδρομή όπως έναν κύκλο (στην απλούστερη περίπτωση) ή μια έλλειψη. Ένα φλιτζάνι δεν είναι συνήθως αιχμηρό (μερικά που έχουν παγωμένες λιχουδιές είναι), αλλά εξακολουθεί να είναι ένα "κομμάτι" κώνου, γεωμετρικά μιλώντας. Αυτό καθιστά εύκολο, με υπομονή, να βρείτε τον όγκο.

Ο τύπος για τον όγκο ενός κανονικού ή δεξιού κώνου (δηλαδή, ένας με κυκλική βάση) είναι

Οπου ρ είναι η ακτίνα της βάσης και η είναι το ύψος του κώνου. Επίσης, δεδομένου ότι από το πλάι, ένας δεξιός κώνος μοιάζει με δύο δεξιά τρίγωνα τοποθετημένα μαζί, το μήκος μικρό της κεκλιμένης πλευράς του κώνου έχει την ίδια τιμή με την υποτεθείσα από ένα από αυτά τα τρίγωνα. Δίνεται έτσι εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα: ρ² + η² = δ², Έτσι

Ας υποθέσουμε ότι έχετε ένα φλιτζάνι πλάτους 8 εκατοστών (cm) στη βάση, 10 εκατοστά στην κορυφή και ύψους 15 εκατοστών. Πόσο υγρό μπορεί να κρατήσει σε cm³, που ονομάζεται επίσης χιλιοστόλιτρα (mL);

Ένας τρόπος αντιμετώπισης αυτού του προβλήματος είναι να σχεδιάσετε μια διατομή του κυπέλλου, δηλαδή πώς μοιάζει από το πλάι αφού κόψετε ακριβώς στο μισό κάθετο στο οπτικό σας πεδίο. Εάν σχεδιάζετε κατακόρυφες γραμμές προς τα πάνω από τα δύο σημεία όπου η βάση συναντά τις πλευρές έως την κορυφή το κύπελλο, τώρα χωρίσατε τη διατομή σε δύο ίσα, ανακλώμενα δεξιά τρίγωνα και ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Τα τρίγωνα έχουν μακρά "πόδια" 15 cm και κοντά "πόδια" 1 cm (διαχωρίζοντας τη διαφορά μεταξύ του πλάτους βάσης και του άνω πλάτους).

Σημειώστε τι συμβαίνει εάν επεκτείνετε τις πλευρές του κυπέλλου στο διάγραμμα σας σε ένα σημείο κάτω από τη βάση. Επίσης επεκτείνετε μια γραμμή από το κέντρο της κορυφής προς το σημείο που συγκλίνουν αυτές οι γραμμές. (Μπορεί να μην έχετε χώρο για να συναντήσετε τις πλευρές και να σχηματίσετε ένα κλειστό τρίγωνο, αλλά πλησιάστε όσο μπορείτε,)

Λόγω της αρχής των παρόμοιων τριγώνων, γνωρίζετε ότι η αναλογία του μακρού ποδιού των τριγώνων από πάνω (15 cm) προς εκείνη του μικρού ποδιού (1 cm) ή 15 προς 1, πρέπει να είναι ίδια με την αναλογία του μικρού ποδιού προς το μακρύ πόδι ενός από τα πρόσφατα δημιουργημένα τρίγωνα μεταξύ της βάσης του "κυπέλλου" και του σημείο. Δεδομένου ότι το μικρό πόδι έχει τιμή 4 cm, το μακρύ πόδι πρέπει να είναι 15 φορές αυτό, ή 60 cm.

Έτσι, τώρα ασχολείστε με τη διατομή ενός κώνου με συνολικό ύψος 15 + 60 = 75 cm και πλάτος 10 cm, που σημαίνει ακτίνα 5 cm. Ο όγκος αυτού του κώνου μείον τον όγκο του κώνου που εκτείνεται μέχρι τη βάση του κυπέλλου, το οποίο έχει ύψος 60 cm και πλάτος 8 cm (r = 4 cm) δίνει το επιθυμητό αποτέλεσμα:

Έτσι, το φλιτζάνι σας κρατά πολύ κοντά σε 1 L (1.000 mL) υγρού.

Δείτε τους πόρους για μια λίστα αριθμομηχανών που περιλαμβάνει κώνους με διαφορετικούς αρχικούς συνδυασμούς πληροφοριών. Εναλλακτικά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια προσέγγιση όπως αυτή παραπάνω και να χωρίσετε το κύπελλο σε διαφορετικά σχήματα και, στη συνέχεια, να το χρησιμοποιήσετε απλούστεροι τύποι (όπως ο τύπος του όγκου ενός κύβου) σε κατάλληλους συνδυασμούς για να βρείτε το σύνολο Ενταση ΗΧΟΥ.