Μια κανονική καμπύλη είναι το όνομα του γραφήματος του τυπική κανονική κατανομή πιθανότητας, για το οποίο μιλούν οι άνθρωποι (συχνά χωρίς να το γνωρίζουν) όταν αναφέρουν οποιαδήποτε "καμπύλη καμπάνας" που δείχνει πού βρίσκονται οι άνθρωποι ή άλλες μεταβλητές σε σχέση με κάποιο μέσο ή μέσο όρο πληθυσμού.
Μια τυπική κανονική καμπύλη παρέχει τόσο μια οπτική όσο και μια αριθμητική αναπαράσταση του τρόπου κατανομής μιας δεδομένης μεταβλητής σε έναν πληθυσμό όταν το η πραγματική κατάσταση που αντιπροσωπεύεται από τη συνάρτηση είναι γνωστό ότι έχει συμμετρική κατανομή στον πληθυσμό που ενδιαφέρει (εξ ου και το "κουδούνι" σχήμα). Αυτό θα μπορούσε να περιλαμβάνει IQ ή ύψος στα αρσενικά, το οποίο είναι πιθανό να ποικίλλει προς τη μία πλευρά του μέσου όρου με το άλλο, και είναι επίσης πιθανό να ποικίλλει κατά το ίδιο μέγεθος.
Όλες οι κανονικές καμπύλες και τα σχετικά δεδομένα έχουν κοινά χαρακτηριστικά που επιτρέπουν τη δημιουργία αριθμητικών πινάκων που επιτρέπουν την επίλυση των τιμών περιοχής αντί πιο περίπλοκων μαθηματικών υπολογισμοί.
Η τυπική κανονική κατανομή
Σε οποιαδήποτε κανονική κατανομή, εξ ορισμού, μόλις κάτω από το 68% των σημείων δεδομένων εμπίπτουν σε μια τυπική απόκλιση του μέσου όρου του πληθυσμού ή του δείγματος πληθυσμού. Περίπου το 95% βρίσκεται σε δύο τυπικές αποκλίσεις και το 99,9% βρίσκεται σε τρεις τυπικές αποκλίσεις.
Σε κάθε σήμα τυπικής απόκλισης εκχωρείται ακέραια τιμή για τη μέση τιμή (π.χ. -3, -2, 1, 1, 2, 3) και εκχωρείται η μεταβλητή z. Αυτή η τιμή, ή η βαθμολογία z, μπορεί επίσης να λάβει μη ακέραιες τιμές (π.χ. -2,58).
Οι βαθμολογίες Z χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της πιθανότητας ενός συμβάντος εντός συγκεκριμένου εύρους δυνατοτήτων. Για παράδειγμα, εάν σας πει ότι η μέση και η τυπική απόκλιση για το IQ (πηλίκο νοημοσύνης) είναι 100 και 20 σημεία, κάνοντας z = 0 για IQ = 100 και z = 1.0 για IQ = 120 και σας ζητείται να δώσετε την πιθανότητα ότι ένα τυχαία επιλεγμένο άτομο θα έχει IQ 140 ή υψηλότερο, χρησιμοποιείτε έναν πίνακα z για να βρείτε μια λύση.
Η περιοχή κάτω από την κανονική καμπύλη
Στις περισσότερες περιπτώσεις στα μαθηματικά, η περιοχή κάτω από την καμπύλη του γραφήματος μιας εξίσωσης βρίσκεται με χειραγώγηση τα μοναδικά στοιχεία αυτής της εξίσωσης άμεσα, όπως ενσωματώνοντας την καμπύλη μεταξύ των συντεταγμένων x του ενδιαφέρον. Με την κανονική καμπύλη, αντίθετα αναζητάτε έναν ή δύο αριθμούς σε έναν πίνακα που ονομάζεται τιμές-z και, εάν χρειάζεται, εκτελείτε ένα βήμα αφαίρεσης.
Στην περιοχή κάτω από ολόκληρη την κανονική καμπύλη, ανεξάρτητα από το ακριβές σχήμα της, αποδίδεται η τιμή 1,0. Όλες οι μερικές περιοχές κάτω από το Η κανονική καμπύλη είναι επομένως δεκαδικοί αριθμοί μεταξύ 0 και 1 και μπορούν να μετατραπούν εύκολα σε ποσοστά πολλαπλασιάζοντάς τα επί 100.
Οι πίνακες Z επιτρέπουν αναγνώσεις έως την εκατοστή θέση της βαθμολογίας για να δώσουν περιοχές σε τέσσερα ή πέντε σημαντικά ψηφία. Αυτό γίνεται παίρνοντας τη δέκατη θέση στον αριστερό άξονα και μετά διαβάζοντας την κατάλληλη σειρά για να πάρετε τη δέκατη θέση.
- Αυτό εξηγεί γιατί η αναλογία της περιοχής στα αριστερά του z = -2,58 είναι 0,00494.
Κανονική κατανομή: Περιοχή μεταξύ δύο σημείων
Ας υποθέσουμε ότι σε μια δοκιμή με μέσο όρο 80 και τυπική απόκλιση 10, θέλετε να μάθετε ποιο ποσοστό των μαθητών είχαν βαθμολογίες μεταξύ 65 και 85.
Θα ξεκινήσετε με την εύρεση του ανώτερες και χαμηλότερες βαθμολογίες z. Αυτό γίνεται αφαιρώντας τον μέσο όρο από το άνω όριο και διαιρώντας με την τυπική απόκλιση: (85 - 80) / 10 = 0,50. Στη συνέχεια, βρίσκετε το κατώτερο όριο με τον ίδιο τρόπο: (65 - 80) / 10 -1.50.
Τώρα, μπορείτε να αντιστοιχίσετε τιμές περιοχής σε αυτές τις βαθμολογίες z ανατρέχοντας στον πίνακα. Αυτές οι τιμές είναι 0,68916 για z = 0,5 και 0,06681 για z = 1,5. Κάθε μία από αυτές τις περιοχές αντιπροσωπεύει την περιοχή κάτω από την καμπύλη από την αριστερή "ουρά" έως την εν λόγω τιμή x, οπότε για την περιοχή μεταξύ των δύο σημείων x = 65 και x = 85, αφαιρείτε τη μικρότερη τιμή από τη μεγαλύτερη για να πάρετε 0.63135.
Έτσι, το 63,1 τοις εκατό των βαθμολογιών αναμένεται να πέσει στο εύρος των 65 έως 85, δεδομένης μιας τυπικής απόκλισης 10 σε μια κανονική κατανομή.