Όταν εισήχθη για πρώτη φορά σε συστήματα εξισώσεων, πιθανότατα μάθατε να επιλύετε ένα σύστημα δύο μεταβλητών εξισώσεων γράφοντας. Αλλά η επίλυση εξισώσεων με τρεις ή περισσότερες μεταβλητές απαιτεί ένα νέο σύνολο τεχνών, δηλαδή τις τεχνικές εξάλειψης ή αντικατάστασης.
Επιλέξτε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις και συνδυάστε τις για να εξαλείψετε μία από τις μεταβλητές. Σε αυτό το παράδειγμα, η προσθήκη της εξίσωσης # 1 και της εξίσωσης # 2 θα ακυρώσει τοεμεταβλητή, αφήνοντάς σας την ακόλουθη νέα εξίσωση:
Νέα εξίσωση # 1:
7x - 2z = 12
Επαναλάβετε το Βήμα 1, αυτή τη φορά συνδυάζοντας έναδιαφορετικόςσύνολο δύο εξισώσεων αλλά εξαλείφοντας τοίδιομεταβλητός. Εξετάστε την εξίσωση # 2 και την εξίσωση # 3:
Εξίσωση # 2:
5x - y - 5z = 2
Εξίσωση # 3:
x + 2y - z = 7
Σε αυτήν την περίπτωση τοεη μεταβλητή δεν ακυρώνεται αμέσως. Προτού προσθέσετε τις δύο εξισώσεις μαζί, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης # 2 με 2. Αυτό σας δίνει:
Εξίσωση # 2 (τροποποιημένο):
10x - 2y - 10z = 4
Εξίσωση # 3:
x + 2y - z = 7
Τώρα το 2εοι όροι θα ακυρώσουν ο ένας τον άλλον, δίνοντάς σας μια άλλη νέα εξίσωση:
Νέα εξίσωση # 2:
11x - 11z = 11
Συνδυάστε τις δύο νέες εξισώσεις που δημιουργήσατε, με στόχο την εξάλειψη μιας ακόμη μεταβλητής:
Νέα εξίσωση # 1:
7x - 2z = 12
Νέα εξίσωση # 2:
11x - 11z = 11
Καμία μεταβλητή δεν ακυρώνεται ακόμη, οπότε θα πρέπει να τροποποιήσετε και τις δύο εξισώσεις. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της πρώτης νέας εξίσωσης με 11 και πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της δεύτερης νέας εξίσωσης με −2. Αυτό σας δίνει:
Νέα εξίσωση # 1 (τροποποιημένη):
77x - 22z = 132
Νέα εξίσωση # 2 (τροποποιημένη):
-22x + 22z = -22
Προσθέστε και τις δύο εξισώσεις και απλοποιήστε, κάτι που σας δίνει:
x = 2
Τώρα που γνωρίζετε την αξία τουΧ, μπορείτε να το αντικαταστήσετε στις αρχικές εξισώσεις. Αυτό σας δίνει:
Υποκατεστημένη εξίσωση # 1:
y + 3z = 6
Υποκατεστημένη εξίσωση # 2:
-y - 5z = -8
Υποκατεστημένη εξίσωση # 3:
2y - z = 5
Επιλέξτε οποιαδήποτε από τις δύο εξισώσεις και συνδυάστε τις για να εξαλείψετε μια άλλη από τις μεταβλητές. Σε αυτήν την περίπτωση, η προσθήκη της υποκατάστασης της εξίσωσης # 1 και της υποκατάστασης της εξίσωσης # 2 κάνειεακυρώστε όμορφα. Αφού απλοποιήσετε, θα έχετε:
z = 1
Αντικαταστήστε την τιμή από το Βήμα 5 σε οποιαδήποτε από τις υποκατεστημένες εξισώσεις και, στη συνέχεια, λύστε για την υπόλοιπη μεταβλητή,γ.Εξετάστε την υποκατεστημένη εξίσωση # 3:
Υποκατεστημένη εξίσωση # 3:
2y - z = 5
Αντικατάσταση στην τιμή γιαζσου δίνει 2ε- 1 = 5, και επίλυση γιαεσας φέρνει στο:
y = 3
Έτσι, η λύση για αυτό το σύστημα εξισώσεων είναιΧ = 2, ε= 3 καιζ = 1.
Σημειώστε ότι και οι δύο μέθοδοι επίλυσης του συστήματος εξισώσεων σας έφεραν στην ίδια λύση: (Χ = 2, ε = 3, ζ= 1). Ελέγξτε την εργασία σας αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή σε καθεμία από τις τρεις εξισώσεις.