Όποιος έχει παίξει ποτέ ένα παιχνίδι μπιλιάρδου είναι εξοικειωμένος με το νόμο της διατήρησης της ορμής, είτε το συνειδητοποιεί είτε όχι.
Ο νόμος της διατήρησης της ορμής είναι θεμελιώδης για την κατανόηση και την πρόβλεψη του τι συμβαίνει όταν τα αντικείμενα αλληλεπιδρούν ή συγκρούονται. Αυτός ο νόμος προβλέπει τις κινήσεις των μπάλες μπιλιάρδου και είναι αυτό που αποφασίζει εάν αυτή η οκτώ μπάλα το κάνει στην γωνιακή τσέπη ή όχι.
Τι είναι η ορμή;
Η ορμή ορίζεται ως το προϊόν της μάζας και της ταχύτητας ενός αντικειμένου. Σε μορφή εξίσωσης, αυτό γράφεται συχνά ωςp = mv.
Είναι μια διανυσματική ποσότητα, που σημαίνει ότι έχει μια κατεύθυνση που σχετίζεται με αυτήν. Η κατεύθυνση του διανύσματος ορμής ενός αντικειμένου είναι η ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμα ταχύτητάς του.
Η ορμή ενός απομονωμένου συστήματος είναι το άθροισμα της ορμής κάθε μεμονωμένου αντικειμένου σε αυτό το σύστημα. Ένα απομονωμένο σύστημα είναι ένα σύστημα αλληλεπίδρασης αντικειμένων που δεν αλληλεπιδρούν καθόλου με καθαρό τρόπο με οτιδήποτε άλλο. Με άλλα λόγια, δεν υπάρχει καθαρή εξωτερική δύναμη που δρα στο σύστημα.
Η μελέτη της συνολικής ορμής σε ένα απομονωμένο σύστημα είναι σημαντική επειδή σας επιτρέπει να κάνετε προβλέψεις για το τι θα συμβεί στα αντικείμενα του συστήματος κατά τη διάρκεια συγκρούσεων και αλληλεπιδράσεων.
Τι είναι οι νόμοι διατήρησης;
Πριν ξεκινήσετε την κατανόηση του νόμου της διατήρησης της ορμής, είναι σημαντικό να καταλάβετε τι σημαίνει «διατηρημένη ποσότητα».
Το να διατηρήσουμε κάτι σημαίνει να αποτρέψουμε τα απόβλητα ή την απώλεια αυτού με κάποιο τρόπο. Στη φυσική, μια ποσότητα λέγεται ότι διατηρείται εάν παραμένει σταθερή. Ίσως έχετε ακούσει την έκφραση που σχετίζεται με τη διατήρηση της ενέργειας, που είναι η ιδέα ότι η ενέργεια δεν μπορεί ούτε να δημιουργηθεί ούτε να καταστραφεί, αλλά αλλάζει μόνο η μορφή. Εξ ου και το συνολικό ποσό παραμένει σταθερό.
Όταν μιλάμε για διατήρηση της ορμής, μιλάμε για το συνολικό ποσό της ορμής που παραμένει σταθερό. Αυτή η ορμή μπορεί να μεταφερθεί από ένα αντικείμενο σε άλλο μέσα σε ένα απομονωμένο σύστημα και εξακολουθεί να θεωρείται διατηρημένο εάν η συνολική ορμή σε αυτό το σύστημα δεν αλλάξει.
Ο δεύτερος νόμος της κίνησης του Νεύτωνα και ο νόμος της διατήρησης της ορμής
Ο νόμος της διατήρησης της ορμής μπορεί να προέλθει από τον δεύτερο νόμο κίνησης του Νεύτωνα. Θυμηθείτε ότι αυτός ο νόμος αφορούσε την καθαρή δύναμη, τη μάζα και την επιτάχυνση ενός αντικειμένου ωςφάκαθαρά = μα.
Το κόλπο εδώ είναι να σκεφτούμε ότι αυτή η καθαρή δύναμη ενεργεί σε ένα σύστημα στο σύνολό του. Ο νόμος διατήρησης της ορμής εφαρμόζεται όταν η καθαρή δύναμη στο σύστημα είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι, για κάθε αντικείμενο του συστήματος, οι μόνες δυνάμεις που μπορούν να ασκηθούν σε αυτό πρέπει να προέρχονται από άλλα αντικείμενα μέσα στο σύστημα, διαφορετικά να ακυρωθούν κατά κάποιο τρόπο.
Οι εξωτερικές δυνάμεις μπορεί να είναι τριβή, βαρύτητα ή αντίσταση στον αέρα. Αυτά πρέπει είτε να μην ενεργούν, είτε πρέπει να εξουδετερώνονται, προκειμένου να γίνει η καθαρή δύναμη στο σύστημα 0.
Μπορείτε να ξεκινήσετε την παραγωγή με τη δήλωσηφάκαθαρά = ma = 0.
οΜσε αυτήν την περίπτωση είναι η μάζα ολόκληρου του συστήματος. Η εν λόγω επιτάχυνση είναι η καθαρή επιτάχυνση του συστήματος, η οποία αναφέρεται στην επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος (το κέντρο μάζας είναι η μέση θέση του συνολικού συστήματος μάζα.)
Για να είναι η καθαρή δύναμη 0, τότε η επιτάχυνση πρέπει επίσης να είναι 0. Δεδομένου ότι η επιτάχυνση είναι η αλλαγή της ταχύτητας με την πάροδο του χρόνου, αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα δεν πρέπει να αλλάζει. Με άλλα λόγια, η ταχύτητα είναι σταθερή. Ως εκ τούτου παίρνουμε τη δήλωση ότιmvεκ= σταθερά.
Οπουβεκείναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας, που δίνεται από τον τύπο:
v_ {cm} = \ frac {m_1v_1 + m_2v_2 + ...} {m_1 + m_2 + ...}
Έτσι τώρα η δήλωση μειώνεται σε:
m_1v_1 + m_2v_2 +... = \ κείμενο {σταθερά}
Αυτή είναι η εξίσωση που περιγράφει τη διατήρηση της ορμής. Κάθε όρος είναι η ορμή ενός από τα αντικείμενα του συστήματος και το άθροισμα όλων των ορμών πρέπει να είναι σταθερό. Ένας άλλος τρόπος για να το εκφράσετε είναι να δηλώσετε:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} +... = m_1v_ {1f} + m_2v_ {2f} + ...
Όπου ο συνδρομητήςΕγώαναφέρεται στις αρχικές τιμές καιφάστις τελικές τιμές, που συμβαίνουν συνήθως πριν και μετά μετά από κάποιο είδος αλληλεπίδρασης, όπως σύγκρουση μεταξύ αντικειμένων σε ένα σύστημα.
Ελαστικές και ανελαστικές συγκρούσεις
Ο λόγος για τον οποίο ο νόμος της διατήρησης της ορμής είναι σημαντικός είναι ότι μπορεί να σας επιτρέψει να επιλύσετε ένα άγνωστη τελική ταχύτητα ή παρόμοια για αντικείμενα σε ένα απομονωμένο σύστημα που μπορεί να συγκρούονται με το καθένα άλλα.
Υπάρχουν δύο κύριοι τρόποι με τους οποίους μπορεί να συμβεί μια τέτοια σύγκρουση: ελαστικά ή ανελαστικά.
Μια απόλυτα ελαστική σύγκρουση είναι εκείνη στην οποία τα αντικρουόμενα αντικείμενα αναπηδούν το ένα από το άλλο. Αυτός ο τύπος σύγκρουσης χαρακτηρίζεται από τη διατήρηση της κινητικής ενέργειας. Η κινητική ενέργεια ενός αντικειμένου δίνεται από τον τύπο:
KE = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Εάν διατηρηθεί η κινητική ενέργεια, τότε το άθροισμα των κινητικών ενεργειών όλων των αντικειμένων στο σύστημα πρέπει να παραμείνει σταθερό τόσο πριν όσο και μετά από οποιαδήποτε σύγκρουση. Η χρήση της διατήρησης της κινητικής ενέργειας μαζί με τη διατήρηση της ορμής μπορεί να σας επιτρέψει να επιλύσετε περισσότερες από μία τελικές ή αρχικές ταχύτητες σε ένα σύστημα σύγκρουσης.
Μια απόλυτα ανελαστική σύγκρουση είναι εκείνη στην οποία όταν συγκρούονται δύο αντικείμενα, κολλήστε το ένα στο άλλο και μετακινήστε ως μοναδική μάζα μετά. Αυτό μπορεί να απλοποιήσει επίσης ένα πρόβλημα επειδή πρέπει να καθορίσετε μόνο μια τελική ταχύτητα αντί για δύο.
Ενώ η ορμή διατηρείται και στους δύο τύπους συγκρούσεων, η κινητική ενέργεια διατηρείται μόνο σε μια ελαστική σύγκρουση. Οι περισσότερες συγκρούσεις στην πραγματική ζωή δεν είναι απόλυτα ελαστικές ή απόλυτα ανελαστικές, αλλά βρίσκονται κάπου ενδιάμεσα.
Διατήρηση της γωνιακής ορμής
Αυτό που περιγράφηκε στην προηγούμενη ενότητα είναι η διατήρηση της γραμμικής ορμής. Υπάρχει ένας άλλος τύπος ορμής που ισχύει για την περιστροφική κίνηση που ονομάζεται γωνιακή ορμή.
Όπως και με τη γραμμική ορμή, η γωνιακή ορμή διατηρείται επίσης. Η γωνιακή ορμή εξαρτάται από τη μάζα ενός αντικειμένου καθώς και από το πόσο μακριά είναι αυτή η μάζα από έναν άξονα περιστροφής.
Όταν ένας σκέιτερ περιστρέφεται, θα τους δείτε να περιστρέφονται γρηγορότερα καθώς φέρνουν τα χέρια τους πιο κοντά στο σώμα τους. Αυτό συμβαίνει επειδή η γωνιακή ορμή τους διατηρείται μόνο εάν η ταχύτητα περιστροφής τους αυξάνεται ανάλογα με το πόσο κοντά φέρνουν τα χέρια τους στο κέντρο τους.
Παραδείγματα προβλημάτων συντήρησης ορμής
Παράδειγμα 1:Δύο μπάλες μπιλιάρδου ίσης μάζας κυλούν το ένα προς το άλλο. Το ένα ταξιδεύει με αρχική ταχύτητα 2 m / s και το άλλο ταξιδεύει με ταχύτητα 4 m / s. Εάν η σύγκρουσή τους είναι απόλυτα ελαστική, ποια είναι η τελική ταχύτητα κάθε μπάλας;
Λύση 1:Είναι σημαντικό κατά την επίλυση αυτού του προβλήματος να επιλέξετε ένα σύστημα συντεταγμένων. Δεδομένου ότι όλα συμβαίνουν σε ευθεία γραμμή, ίσως αποφασίσετε ότι η κίνηση προς τα δεξιά είναι θετική και η κίνηση προς τα αριστερά είναι αρνητική. Ας υποθέσουμε ότι η πρώτη μπάλα ταξιδεύει προς τα δεξιά στα 2m / s. Η ταχύτητα της δεύτερης μπάλας είναι τότε -4m / s.
Γράψτε μια έκφραση για τη συνολική ορμή του συστήματος πριν από τη σύγκρουση, καθώς και τη συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος πριν από τη σύγκρουση:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2
Συνδέστε τιμές για να λάβετε μια έκφραση για κάθε:
m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} = 2m - 4m = -2m \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2 = \ frac {1} {2} m (2) ^ 2 + \ frac {1} {2} m (-4) ^ 2 = 10m
Σημειώστε ότι επειδή δεν σας δόθηκαν τιμές για τις μάζες, παραμένουν άγνωστες, αν και οι δύο μάζες ήταν οι ίδιες, κάτι που επέτρεψε κάποια απλοποίηση.
Μετά τη σύγκρουση, οι εκφράσεις για ορμή και κινητική ενέργεια είναι:
mv_ {1f} + mv_ {2f} \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2} mv_ {2f} ^ 2
Ορίζοντας τις αρχικές τιμές ίσες με τις τελικές τιμές καθεμιάς, μπορείτε να ακυρώσετε τις μάζες. Στη συνέχεια απομένουν ένα σύστημα δύο εξισώσεων και δύο άγνωστων ποσοτήτων:
mv_ {1f} + mv_ {2f} = -2m \ σημαίνει v_ {1f} + v {2f} = -2 \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2 } mv_ {2f} ^ 2 = 10m \ σημαίνει v_ {1f} ^ 2 + v {2f} ^ 2 = 20
Η επίλυση του συστήματος αλγεβρικά δίνει τις ακόλουθες λύσεις:
v_ {if} = -4 \ κείμενο {m / s} v_ {2f} = 2 \ κείμενο {m / s}
Θα παρατηρήσετε ότι επειδή οι δύο μπάλες είχαν την ίδια μάζα, ουσιαστικά αντάλλαξαν ταχύτητες.
Παράδειγμα 2:Ένα αυτοκίνητο 1.200 κιλών που ταξιδεύει ανατολικά με ταχύτητα 20 μιλίων ανά ώρα συγκρούεται με ένα φορτηγό 3.000 κιλών που ταξιδεύει δυτικά με ταχύτητα 15 μίλια ανά ώρα. Τα δύο οχήματα κολλάνε όταν συγκρούονται. Με ποια τελική ταχύτητα κινούνται;
Λύση 2:Ένα πράγμα που πρέπει να σημειωθεί σχετικά με αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι οι μονάδες. Οι μονάδες SI για ορμή είναι kg⋅m / s. Ωστόσο, σας δίνεται μάζα σε kg και ταχύτητες σε μίλια ανά ώρα. Σημειώστε ότι όσο όλες οι ταχύτητες είναι σε συνεπείς μονάδες, δεν υπάρχει ανάγκη μετατροπής. Όταν λύσετε την τελική ταχύτητα, η απάντησή σας θα είναι σε μίλια ανά ώρα.
Η αρχική ορμή του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως:
m_cv_ {ci} + m_tv_ {ti} = 1200 \ φορές 20 - 3000 \ φορές 15 = -21.000 \ κείμενο {kg} \ φορές \ κείμενο {mph}
Η τελική ορμή του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως:
(m_c + m_t) v_f = 4200v_f
Ο νόμος της διατήρησης της ορμής σας λέει ότι αυτές οι αρχικές και τελικές τιμές πρέπει να είναι ίσες. Μπορείτε να επιλύσετε την τελική ταχύτητα ορίζοντας την αρχική ορμή ίση με την τελική ορμή, επιλύοντας την τελική ταχύτητα ως εξής:
4200v_f = -21,000 \ σημαίνει v_f = \ frac {-21000} {4200} = -5 \ κείμενο {mph}
Παράδειγμα 3:Δείξτε ότι η κινητική ενέργεια δεν διατηρήθηκε στην προηγούμενη ερώτηση που αφορούσε την ανελαστική σύγκρουση μεταξύ του αυτοκινήτου και του φορτηγού.
Λύση 3:Η αρχική κινητική ενέργεια αυτού του συστήματος ήταν:
\ frac {1} {2} m_cv_ {ci} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_tv_ {ti} ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200) (20) ^ 2 + \ frac { 1} {2} (3000) (15) ^ 2 = 557.500 \ κείμενο {kg (mph)} ^ 2
Η τελική κινητική ενέργεια του συστήματος ήταν:
\ frac {1} {2} (m_c + m_t) v_f ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200 + 3000) 5 ^ 2 = 52.500 \ κείμενο {kg (mph)} ^ 2
Επειδή η αρχική συνολική κινητική ενέργεια και η συνολική τελική κινητική ενέργεια δεν είναι ίσες, τότε μπορείτε να συμπεράνετε ότι η κινητική ενέργεια δεν διατηρήθηκε.