Πώς να υπολογίσετε τη σφαιρικότητα

Κατά τη σύγκριση θεωρητικών μοντέλων για το πώς λειτουργούν τα πράγματα σε πραγματικές εφαρμογές, οι φυσικοί προσεγγίζουν συχνά τη γεωμετρία των αντικειμένων χρησιμοποιώντας απλούστερα αντικείμενα. Αυτό θα μπορούσε να χρησιμοποιεί λεπτούς κυλίνδρους για να προσεγγίσει το σχήμα ενός αεροπλάνου ή μια λεπτή, μαζική γραμμή για να προσεγγίσει τη συμβολοσειρά ενός εκκρεμούς.

Η σφαιρικότητα σάς δίνει έναν τρόπο προσέγγισης του πόσο κοντά είναι τα αντικείμενα στη σφαίρα. Μπορείτε, για παράδειγμα, να υπολογίσετε τη σφαιρικότητα ως προσέγγιση του σχήματος της Γης που στην πραγματικότητα δεν είναι μια τέλεια σφαίρα.

Κατά την εύρεση σφαιρικότητας για ένα μόνο σωματίδιο ή αντικείμενο, μπορείτε να ορίσετε τη σφαιρικότητα ως την αναλογία της επιφάνειας περιοχή μιας σφαίρας που έχει τον ίδιο όγκο με το σωματίδιο ή αντικείμενο στην επιφάνεια του σωματιδίου εαυτό. Αυτό δεν πρέπει να συγχέεται με το Mauchly's Test of Sphericity, μια στατιστική τεχνική για τον έλεγχο υποθέσεων εντός των δεδομένων.

Βάλτε σε μαθηματικούς όρους, τη σφαιρικότητα που δίνεται απόΨ("psi") είναι:

για τον όγκο του σωματιδίου ή του αντικειμένουΒ_Πκαι επιφάνεια του σωματιδίου ή του αντικειμένουΕΝΑ_Π. Μπορείτε να δείτε γιατί συμβαίνει αυτό με μερικά μαθηματικά βήματα για να αντλήσετε αυτόν τον τύπο.

Πρώτον, θα βρείτε έναν άλλο τρόπο έκφρασης της επιφάνειας ενός σωματιδίου.

1. ​ΕΝΑ_μικρό = 4πr​²: Ξεκινήστε με τον τύπο για την επιφάνεια της σφαίρας σε σχέση με την ακτίνα τηςρ​.
2. ​(4πρ²​ ​)​^{​3 ​}: Κάντε κύβους το μεταφέροντάς το στη δύναμη του 3.
3. ​4³π​³​ρ​⁶: Κατανομή του εκθέτη 3 σε ολόκληρο τον τύπο.
4. ​4π(​4²π²​ρ​⁶Παράγοντας το4πτοποθετώντας το έξω χρησιμοποιώντας παρενθέσεις.
   
5. ​4π x 3² (​​4²π​²​ρ​⁶ ​/​​3²): Παράγοντας έξω3².​
   
6. ​36​​π (​​4π​​ρ​³​/3​​)​²: Αφαιρέστε τον εκθέτη του 2 από τις παρενθέσεις για να λάβετε τον όγκο μιας σφαίρας.
7. ​36πV_Π²: Αντικαταστήστε το περιεχόμενο στις παρενθέσεις με τον όγκο μιας σφαίρας για ένα σωματίδιο.
8. ​ΕΝΑ_μικρό = (36V_Π²)^1/3: Στη συνέχεια, μπορείτε να πάρετε τη ρίζα του κύβου αυτού του αποτελέσματος έτσι ώστε να επιστρέψετε στην επιφάνεια.
9. 36^1/3​π​^1/3​Β​_Π^2/3: Διανείμετε τον εκθέτη του 1/3 σε όλο το περιεχόμενο στις παρενθέσεις.
10. ​π​^1/3(6​Β​_Π)^2/3: Παράγοντας τοπ​^1/3 από το αποτέλεσμα του βήματος 9. Αυτό σας δίνει μια μέθοδο έκφρασης της επιφάνειας.
    

Στη συνέχεια, από αυτό το αποτέλεσμα ενός τρόπου έκφρασης της επιφάνειας, μπορείτε να ξαναγράψετε την αναλογία της επιφάνειας ενός σωματιδίου προς τον όγκο ενός σωματιδίου με

που ορίζεται ωςΨ. Επειδή ορίζεται ως λόγος, η μέγιστη σφαιρικότητα που μπορεί να έχει ένα αντικείμενο είναι μία, η οποία αντιστοιχεί σε μια τέλεια σφαίρα.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικές τιμές για να αλλάξετε την ένταση των διαφορετικών αντικειμένων για να παρατηρήσετε πώς η σφαιρικότητα εξαρτάται περισσότερο από ορισμένες διαστάσεις ή μετρήσεις σε σύγκριση με άλλες. Για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση της σφαιρικότητας των σωματιδίων, η επιμήκυνση των σωματιδίων σε μία κατεύθυνση είναι πολύ πιο πιθανό να αυξήσει τη σφαιρικότητα από την αλλαγή της στρογγυλοποίησης ορισμένων τμημάτων του.

Χρησιμοποιώντας την εξίσωση για τη σφαιρικότητα, μπορείτε να προσδιορίσετε τη σφαιρικότητα ενός κυλίνδρου. Πρέπει πρώτα να υπολογίσετε τον όγκο του κυλίνδρου.. Στη συνέχεια, υπολογίστε την ακτίνα μιας σφαίρας που θα έχει αυτόν τον όγκο. Βρείτε την επιφάνεια αυτής της σφαίρας με αυτήν την ακτίνα και, στη συνέχεια, διαιρέστε την με την επιφάνεια του κυλίνδρου.

Εάν έχετε κύλινδρο με διάμετρο 1 m και ύψος 3 m, μπορείτε να υπολογίσετε τον όγκο του ως προϊόν της περιοχής της βάσης και του ύψους. Αυτό θα ήταν

Επειδή ο όγκος μιας σφαίρας είναιV = 4πr³/3, μπορείτε να υπολογίσετε την ακτίνα αυτού του τόμου ως

Για μια σφαίρα με αυτόν τον όγκο, θα έχει μια ακτίνα r =(2,36 μ³ x (3/4​​π)​​)^1/3 = 0,83 μ.​

Η επιφάνεια της σφαίρας με αυτήν την ακτίνα θα είναιΑ = 4πr²ή 4πρ²ή 8,56 μ³. Ο κύλινδρος έχει εμβαδόν 11,00 m² δίνεται απόA = 2 (πρ​²​) + 2πr x ω, που είναι το άθροισμα των περιοχών των κυκλικών βάσεων και της περιοχής της καμπύλης επιφάνειας του κυλίνδρου. Αυτό δίνει μια σφαιρικότηταΨ0,78 από τη διαίρεση της επιφάνειας της σφαίρας με την επιφάνεια του κυλίνδρου.

Μπορείτε να επισπεύσετε αυτήν τη διαδικασία βήμα προς βήμα που περιλαμβάνει όγκο και επιφάνεια επιφάνειας ενός κυλίνδρου παράλληλα με τον όγκο και την επιφάνεια έχουν μια σφαίρα χρησιμοποιώντας υπολογιστικές μεθόδους που μπορούν να υπολογίσουν αυτές τις μεταβλητές μία-μία πολύ πιο γρήγορα από έναν άνθρωπο μπορώ. Η εκτέλεση προσομοιώσεων που βασίζονται σε υπολογιστή χρησιμοποιώντας αυτούς τους υπολογισμούς είναι μόνο μία εφαρμογή σφαιρικότητας.

Η σφαιρικότητα προήλθε από τη γεωλογία. Επειδή τα σωματίδια τείνουν να έχουν ακανόνιστα σχήματα με όγκους που είναι δύσκολο να προσδιοριστούν, ο γεωλόγος Hakon Wadell δημιούργησε έναν πιο εφαρμόσιμο ορισμό που χρησιμοποιεί την αναλογία της ονομαστικής διαμέτρου του σωματιδίου, τη διάμετρο μιας σφαίρας με τον ίδιο όγκο με έναν κόκκο, προς τη διάμετρο της σφαίρας που θα περιλαμβάνει το.

Μέσα από αυτό, δημιούργησε την έννοια της σφαιρικότητας που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί παράλληλα με άλλες μετρήσεις όπως η στρογγυλοποίηση στην αξιολόγηση των ιδιοτήτων των φυσικών σωματιδίων.

Εκτός από τον προσδιορισμό του πόσο κοντά είναι οι θεωρητικοί υπολογισμοί με παραδείγματα πραγματικού κόσμου, η σφαιρικότητα έχει μια ποικιλία άλλων χρήσεων. Οι γεωλόγοι προσδιορίζουν τη σφαιρικότητα των ιζηματογενών σωματιδίων για να καταλάβουν πόσο κοντά βρίσκονται στις σφαίρες. Από εκεί, μπορούν να υπολογίσουν άλλες ποσότητες, όπως οι δυνάμεις μεταξύ των σωματιδίων ή να πραγματοποιήσουν προσομοιώσεις σωματιδίων σε διαφορετικά περιβάλλοντα.

Αυτές οι προσομοιώσεις που βασίζονται σε υπολογιστή επιτρέπουν στους γεωλόγους να σχεδιάζουν πειράματα και να μελετούν χαρακτηριστικά της γης, όπως η κίνηση και η διάταξη των υγρών μεταξύ ιζηματογενών πετρωμάτων.

Οι γεωλόγοι μπορούν να χρησιμοποιήσουν τη σφαιρικότητα για να μελετήσουν την αεροδυναμική των ηφαιστειακών σωματιδίων. Οι τρισδιάστατες τεχνολογίες σάρωσης με λέιζερ και ηλεκτρονικό μικροσκόπιο σάρωσης έχουν μετρήσει άμεσα τη σφαιρικότητα των ηφαιστειακών σωματιδίων. Οι ερευνητές μπορούν να συγκρίνουν αυτά τα αποτελέσματα με άλλες μεθόδους μέτρησης της σφαιρικότητας, όπως η σφαιρικότητα εργασίας. Αυτή είναι η σφαιρικότητα ενός τετραδεκαέδρου, ενός πολυεδρού με 14 όψεις, από τους λόγους επιπεδότητας και επιμήκυνσης των ηφαιστειακών σωματιδίων.

Άλλες μέθοδοι μέτρησης της σφαιρικότητας περιλαμβάνουν την προσέγγιση της κυκλικότητας της προβολής ενός σωματιδίου σε μια δισδιάστατη επιφάνεια. Αυτές οι διαφορετικές μετρήσεις μπορούν να δώσουν στους ερευνητές πιο ακριβείς μεθόδους μελέτης των φυσικών ιδιοτήτων αυτών των σωματιδίων όταν απελευθερώνονται από ηφαίστεια.

Αξίζει επίσης να σημειωθούν οι εφαρμογές σε άλλα πεδία. Οι μέθοδοι που βασίζονται σε υπολογιστή, ειδικότερα, μπορούν να εξετάσουν άλλα χαρακτηριστικά του ιζηματογενούς υλικού όπως πορώδες, συνδεσιμότητα και στρογγυλοποίηση παράλληλα με τη σφαιρικότητα για την αξιολόγηση των φυσικών ιδιοτήτων των αντικειμένων, όπως ο βαθμός οστεοπόρωσης του ανθρώπου οστά. Επιτρέπει επίσης στους επιστήμονες και τους μηχανικούς να καθορίσουν πόσο χρήσιμα είναι τα βιοϋλικά για τα εμφυτεύματα.

Οι επιστήμονες που μελετούν νανοσωματίδια μπορούν να μετρήσουν το μέγεθος και τη σφαιρικότητα των νανοκρυστάλλων πυριτίου για να μάθουν πώς μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε οπτοηλεκτρονικά υλικά και πομπούς με βάση το πυρίτιο. Αυτά αργότερα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε διάφορες τεχνολογίες, όπως η βιοα απεικόνιση και η διανομή φαρμάκων.