Καθώς τα ηλεκτρικά κυκλώματα γίνονται πιο περίπλοκα με πολλαπλούς κλάδους και στοιχεία, μπορεί να γίνει όλο και περισσότερο Προκαλώντας να προσδιορίσουμε πόσο ρεύμα μπορεί να ρέει μέσα από κάθε δεδομένο κλάδο και πώς να προσαρμόζουμε τα πράγματα αναλόγως. Είναι χρήσιμο να υπάρχει ένας συστηματικός τρόπος ανάλυσης κυκλωμάτων.
Σημαντικοί ορισμοί
Για να κατανοήσουμε τους νόμους του Kirchhoff, απαιτούνται μερικοί ορισμοί:
- ΤάσηΒείναι η διαφορά δυναμικού σε ένα στοιχείο κυκλώματος. Μετράται σε μονάδες βολτ (V).
- ΡεύμαΕγώείναι ένα μέτρο του ρυθμού ροής του φορτίου μετά από ένα σημείο σε ένα κύκλωμα. Μετράται σε μονάδες αμπέρ (Α).
- ΑντίστασηΡείναι ένα μέτρο της αντίστασης ενός στοιχείου κυκλώματος στην τρέχουσα ροή. Μετράται σε μονάδες ωμ (Ω).
- Ο νόμος του Ohm συνδέει αυτές τις τρεις ποσότητες μέσω της ακόλουθης εξίσωσης:V = IR.
Ποιοι είναι οι νόμοι του Kirchhoff;
Το 1845, ο Γερμανός φυσικός Gustav Kirchhoff επισημοποίησε τους ακόλουθους δύο κανόνες σχετικά με τα κυκλώματα:
1. Ο κανόνας της διασταύρωσης (επίσης γνωστός ως τρέχων νόμος του Kirchhoff ή KCL):
Το άθροισμα όλων των ρευμάτων που ρέουν σε μια διασταύρωση σε ένα κύκλωμα πρέπει να ισούται με το συνολικό ρεύμα που ρέει έξω από τη διασταύρωση.Ένας άλλος τρόπος με τον οποίο αυτός ο νόμος διατυπώνεται μερικές φορές είναι ότι το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων που ρέουν σε μια διασταύρωση είναι 0. Αυτό θα σήμαινε ότι αντιμετωπίζουμε τυχόν ρεύματα που ρέουν στη διασταύρωση ως θετικά και τυχόν ρέουν ως αρνητικά. Δεδομένου ότι το σύνολο που ρέει πρέπει να είναι ίσο με το σύνολο που ρέει, ισοδυναμεί με το να δηλώνεται ότι τα ποσά θα ήταν 0 καθώς αυτό ισοδυναμεί με μετακίνηση εκείνων που ρέουν προς την άλλη πλευρά της εξίσωσης με αρνητικό σημάδι.
Ο νόμος αυτός ισχύει μέσω μιας απλής εφαρμογής διατήρησης της επιβάρυνσης. Ό, τι ρέει πρέπει να ισούται με αυτό που ρέει. Φανταστείτε ότι οι σωλήνες νερού συνδέονται και διακλαδίζονται με παρόμοιο τρόπο. Ακριβώς όπως θα περιμένατε ότι το συνολικό νερό που ρέει σε μια διασταύρωση ισούται με το συνολικό νερό που ρέει έξω από τη διασταύρωση, το ίδιο ισχύει και με τα ηλεκτρόνια που ρέουν.
2. Ο κανόνας βρόχου (επίσης γνωστός ως νόμος τάσης Kirchhoff ή KVL):Το άθροισμα των διαφορών δυναμικού (τάσης) γύρω από έναν κλειστό βρόχο σε ένα κύκλωμα πρέπει να είναι ίσο με 0.
Για να κατανοήσετε τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff, φανταστείτε τι θα συνέβαινε αν αυτό δεν ήταν αλήθεια. Σκεφτείτε έναν βρόχο ενός κυκλώματος που έχει μερικές μπαταρίες και αντιστάσεις σε αυτό. Φανταστείτε να ξεκινήσετε από το σημείοΕΝΑκαι πηγαίνοντας δεξιόστροφα γύρω από το βρόχο. Κερδίζετε τάση καθώς περνάτε από μια μπαταρία και μετά πέφτετε τάση καθώς περνάτε από μια αντίσταση και ούτω καθεξής.
Μόλις προχωρήσετε σε όλη τη διαδρομή, καταλήγετε στο σημείοΕΝΑπάλι. Το άθροισμα όλων των πιθανών διαφορών καθώς μετακινήσατε τον βρόχο θα πρέπει στη συνέχεια να ισούται με τη διαφορά δυναμικού μεταξύ του σημείουΕΝΑκαι τον εαυτό του. Λοιπόν, ένα μόνο σημείο δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές πιθανές τιμές, επομένως αυτό το άθροισμα πρέπει να είναι 0.
Ως αναλογία, σκεφτείτε τι θα συμβεί αν πάτε σε κυκλικό μονοπάτι πεζοπορίας. Ας υποθέσουμε ότι ξεκινάτε στο σημείοΕΝΑκαι αρχίστε την πεζοπορία. Μέρος της πεζοπορίας σας παίρνει ανηφορικά και ένα μέρος σας οδηγεί σε κατηφόρα και ούτω καθεξής. Μετά την ολοκλήρωση του βρόχου επιστρέφετε στο σημείοΕΝΑπάλι. Είναι απαραιτήτως η περίπτωση που το άθροισμα των αυξήσεων σας αυξάνεται και πέφτει σε αυτόν τον κλειστό βρόχο πρέπει να είναι 0 ακριβώς επειδή η ανύψωση στο σημείοΕΝΑπρέπει να ισούται.
Γιατί είναι σημαντικοί οι νόμοι του Kirchhoff;
Όταν εργάζεστε με ένα απλό κύκλωμα σειράς, ο προσδιορισμός του ρεύματος στο βρόχο απαιτεί μόνο τη γνώση της εφαρμοζόμενης τάσης και το άθροισμα των αντιστάσεων στο βρόχο (και στη συνέχεια εφαρμογή του νόμου του Ohm.)
Σε παράλληλα κυκλώματα και ηλεκτρικά κυκλώματα με συνδυασμούς σειρών και παράλληλων στοιχείων, Ωστόσο, το έργο του προσδιορισμού του ρεύματος που ρέει σε κάθε κλάδο γίνεται γρήγορα περισσότερο περίπλοκος. Η τρέχουσα είσοδος σε μια διασταύρωση θα διαχωριστεί καθώς εισέρχεται σε διαφορετικά μέρη του κυκλώματος και δεν είναι προφανές πόσο θα πάνε κάθε φορά χωρίς προσεκτική ανάλυση.
Οι δύο κανόνες του Kirchhoff επιτρέπουν την ανάλυση κυκλώματος ολοένα και πιο περίπλοκων κυκλωμάτων. Ενώ τα απαιτούμενα αλγεβρικά βήματα εξακολουθούν να εμπλέκονται αρκετά, η ίδια η διαδικασία είναι απλή. Αυτοί οι νόμοι χρησιμοποιούνται ευρέως στον τομέα της ηλεκτρολογίας.
Η δυνατότητα ανάλυσης κυκλωμάτων είναι σημαντική προκειμένου να αποφευχθεί η υπερφόρτωση στοιχείων κυκλώματος. Εάν δεν ξέρετε πόσο ρεύμα πρόκειται να ρέει μέσω μιας συσκευής ή ποια τάση θα πέσει πάνω της, δεν θα ξέρετε ποια θα είναι η ισχύς εξόδου, και όλα αυτά σχετίζονται με τη λειτουργία του συσκευή.
Πώς να εφαρμόσετε τους νόμους του Kirchhoff
Οι κανόνες του Kirchhoff μπορούν να εφαρμοστούν για την ανάλυση ενός διαγράμματος κυκλώματος εφαρμόζοντας τα ακόλουθα βήματα:
- Εάν το ρεύμα περνά στη θετική κατεύθυνση μέσω μιας πηγής τάσης, αυτή είναι μια θετική τιμή τάσης. Εάν το ρεύμα περνά στην αρνητική κατεύθυνση μέσω μιας πηγής τάσης, η τάση πρέπει να έχει αρνητικό σημάδι.
- Εάν το ρεύμα περνά στη θετική κατεύθυνση σε ένα αντιστατικό στοιχείο, τότε χρησιμοποιείτε τον νόμο του Ohm και προσθέτετε-ΕΓΩΕγώ× R(η πτώση τάσης κατά μήκος αυτής της αντίστασης) για αυτό το στοιχείο. Εάν το ρεύμα περνά στην αρνητική κατεύθυνση σε ένα στοιχείο αντίστασης, τότε προσθέτετε+ Εγώ Εγώ× Rγια αυτό το στοιχείο.
- Μόλις το καταφέρετε σε όλη τη διάρκεια του βρόχου, ορίστε αυτό το άθροισμα όλων των τάσεων ίσο με 0. Επαναλάβετε για όλους τους βρόχους στο κύκλωμα.
Για κάθε υποκατάστημα,Εγώ, του κυκλώματος, επισημάνετε το άγνωστο ρεύμα που διατρέχει ωςΕγώΕγώκαι επιλέξτε μια κατεύθυνση για αυτό το ρεύμα. (Η κατεύθυνση δεν χρειάζεται να είναι σωστή. Εάν αποδειχθεί ότι αυτό το ρεύμα ρέει στην αντίθετη κατεύθυνση, τότε θα λάβετε απλώς μια αρνητική τιμή κατά την επίλυση αυτού του ρεύματος αργότερα.)
Για κάθε βρόχο στο κύκλωμα, επιλέξτε μια κατεύθυνση. (Αυτό είναι αυθαίρετο. Μπορείτε να επιλέξετε αριστερόστροφα ή δεξιόστροφα. Δεν πειράζει.)
Για κάθε βρόχο, ξεκινήστε από ένα σημείο και προχωρήστε στην επιλεγμένη κατεύθυνση, προσθέτοντας τις πιθανές διαφορές σε κάθε στοιχείο. Αυτές οι πιθανές διαφορές μπορούν να προσδιοριστούν ως εξής:
Για κάθε διασταύρωση, το άθροισμα των ρευμάτων που ρέουν σε αυτή τη διασταύρωση πρέπει να ισούται με το άθροισμα των ρευμάτων που ρέουν έξω από αυτήν τη διασταύρωση. Γράψτε αυτό ως εξίσωση.
Θα πρέπει τώρα να έχετε ένα σύνολο ταυτόχρονων εξισώσεων που θα σας επιτρέψουν να προσδιορίσετε το ρεύμα (ή άλλες άγνωστες ποσότητες) σε όλους τους κλάδους του κυκλώματος. Το τελευταίο βήμα είναι η αλγεβρική επίλυση αυτού του συστήματος.
Παραδείγματα
Παράδειγμα 1:Εξετάστε το ακόλουθο κύκλωμα:
Εφαρμόζοντας το Βήμα 1, για κάθε κλάδο επισημαίνουμε τα άγνωστα ρεύματα.
•••ναι
Εφαρμόζοντας το Βήμα 2, επιλέγουμε μια κατεύθυνση για κάθε βρόχο στο κύκλωμα ως εξής:
•••ναι
Τώρα εφαρμόζουμε το Βήμα 3: Για κάθε βρόχο, ξεκινώντας από ένα σημείο και μεταβαίνοντας στην επιλεγμένη κατεύθυνση, προσθέτουμε τις πιθανές διαφορές σε κάθε στοιχείο και ορίζουμε το άθροισμα ίσο με 0.
Για το βρόχο 1 στο διάγραμμα, λαμβάνουμε:
-I_1 \ φορές 40 - I_3 \ φορές 100 + 3 = 0
Για το βρόχο 2 στο διάγραμμα, λαμβάνουμε:
-I_2 \ φορές 75 - 2 + I_3 \ φορές 100 = 0
Για το βήμα 4, εφαρμόζουμε τον κανόνα διασταύρωσης. Υπάρχουν δύο διασταυρώσεις στο διάγραμμα μας, αλλά και οι δύο αποδίδουν ισοδύναμες εξισώσεις. Και συγκεκριμένα:
I_1 = I_2 + I_3
Τέλος, για το βήμα 5 χρησιμοποιούμε την άλγεβρα για να λύσουμε το σύστημα εξισώσεων για τα άγνωστα ρεύματα:
Χρησιμοποιήστε την εξίσωση διασταύρωσης για να αντικαταστήσετε την εξίσωση πρώτου βρόχου:
- (I_2 + I_3) \ φορές 40 - I_3 \ φορές 100 + 3 = -40I_2 - 140I_3 + 3 = 0
Λύστε αυτήν την εξίσωση γιαΕγώ2:
I_2 = \ frac {3-140I_3} {40}
Αντικαταστήστε το στη δεύτερη εξίσωση βρόχου:
- [(3-140I_3) / 40] \ φορές 75 - 2 + 100I_3 = 0
Λύστε γιαΕγώ3:
-3 \ φορές 75/40 + (140 \ φορές 75/40) I_3 - 2 + 100I_3 = 0 \\ \ υπονοεί I_3 = (2 + 3 \ φορές 75/40) / (140 \ φορές 75/40 + 100) = 0,021 \ κείμενο {A}
Χρησιμοποιήστε την τιμή τουΕγώ3να λύσειΕγώ2:
I_2 = (3-140 \ φορές (0,021)) / 40 = 0,0015 \ κείμενο {A}
Και λύστε γιαΕγώ1:
I_1 = I_2 + I_3 = 0,021 + 0,0015 = 0,0225 \ κείμενο {A}
Έτσι, το τελικό αποτέλεσμα είναι αυτόΕγώ1= 0,0225 A,Εγώ2= 0,0015 Α καιΕγώ3= 0,021 A.
Αντικαθιστώντας αυτές τις τρέχουσες τιμές στις αρχικές εξισώσεις ελέγξτε, ώστε να μπορούμε να είμαστε αρκετά σίγουροι για το αποτέλεσμα!
Συμβουλές
Επειδή είναι πολύ εύκολο να κάνετε απλά αλγεβρικά σφάλματα σε τέτοιους υπολογισμούς, συνιστάται ιδιαίτερα εσείς βεβαιωθείτε ότι τα τελικά αποτελέσματά σας είναι σύμφωνα με τις αρχικές εξισώσεις συνδέοντάς τα και βεβαιωθείτε εργασία.
Σκεφτείτε να δοκιμάσετε ξανά το ίδιο πρόβλημα, αλλά κάντε μια διαφορετική επιλογή για τις τρέχουσες ετικέτες και τις οδηγίες βρόχου. Εάν γίνει προσεκτικά, θα πρέπει να έχετε το ίδιο αποτέλεσμα, δείχνοντας ότι οι αρχικές επιλογές είναι πράγματι αυθαίρετες.
(Λάβετε υπόψη ότι εάν επιλέξετε διαφορετικές κατευθύνσεις για τα ρεύματα που επισημαίνονται, τότε οι απαντήσεις σας για αυτές θα διαφέρουν με το σύμβολο μείον. Ωστόσο, τα αποτελέσματα θα αντιστοιχούσαν στην ίδια κατεύθυνση και μέγεθος ρεύματος στο κύκλωμα.)
Παράδειγμα 2:Ποια είναι η ηλεκτροκινητική δύναμη (emf)ετης μπαταρίας στο ακόλουθο κύκλωμα; Ποιο είναι το ρεύμα σε κάθε κλάδο;
•••ναι
Αρχικά επισημαίνουμε όλα τα άγνωστα ρεύματα. ΑφήνωΕγώ2= ρεύμα προς τα κάτω μέσω του μεσαίου κλάδου καιΕγώ1= τρέχουσα προς τα κάτω μέσω ακροδεξιού κλάδου. Η εικόνα δείχνει ήδη ένα ρεύμαΕγώστο αριστερό υποκατάστημα με την ένδειξη.
Η επιλογή κατεύθυνσης δεξιόστροφα για κάθε βρόχο και η εφαρμογή των νόμων κυκλώματος του Kirchhoff δίνει το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:
\ begin {aligned} & I_1 = I-I_2 \\ & \ varepsilon - 4I - 6I_2 + 8 = 0 \\ & -12I_1 - 8 + 6I_2 = 0 \ end {aligned}
Για επίλυση, αντικαταστήστεΕγώ - εγώ2ΓιαΕγώ1στην τρίτη εξίσωση και, στη συνέχεια, συνδέστε τη δεδομένη τιμή γιαΕγώκαι λύστε αυτήν την εξίσωση γιαΕγώ2. Μόλις ξέρετεΕγώ2, μπορείτε να συνδέσετεΕγώκαιΕγώ2στην πρώτη εξίσωσηΕγώ1. Τότε μπορείτε να λύσετε τη δεύτερη εξίσωση γιαε. Ακολουθώντας αυτά τα βήματα δίνει την τελική λύση:
\ begin {aligned} & I_2 = 16/9 = 1.78 \ text {A} \\ & I_1 = 2/9 = 0.22 \ text {A} \\ & \ varepsilon = 32/3 = 10.67 \ κείμενο {V} \ τέλος { ευθυγραμμισμένος}
Και πάλι, πρέπει πάντα να επαληθεύετε τα τελικά αποτελέσματά σας συνδέοντας τα στις αρχικές σας εξισώσεις. Είναι πολύ εύκολο να κάνετε απλά αλγεβρικά λάθη!