Το προϊόν των δύο κλιματικών ποσοτήτων είναι ένα κλιμακωτό, και το προϊόν μιας βαθμίδας με ένα φορέα είναι ένα διάνυσμα, αλλά τι γίνεται με το προϊόν των δύο διανυσμάτων; Είναι μια βαθμίδα ή άλλο φορέα; Η απάντηση είναι, θα μπορούσε να είναι είτε!
Υπάρχουν δύο τρόποι πολλαπλασιασμού διανυσμάτων μαζί. Το ένα είναι με τη λήψη του προϊόντος κουκκίδων τους, το οποίο αποδίδει μια βαθμίδα και το άλλο με τη λήψη του διασταυρούμενου προϊόντος τους, το οποίο αποδίδει έναν άλλο φορέα. Ποιο προϊόν να χρησιμοποιήσετε εξαρτάται από το συγκεκριμένο σενάριο και από ποια ποσότητα προσπαθείτε να βρείτε.
οπροϊόν κουκκίδωνμερικές φορές αναφέρεται ως τοβαθμιαίο προϊόνήεσωτερικο προιον. Γεωμετρικά, μπορείτε να σκεφτείτε το προϊόν κουκκίδων μεταξύ δύο διανυσμάτων ως έναν τρόπο πολλαπλασιασμού των διανυσματικών τιμών που μετρά μόνο τις συνεισφορές ίδιας κατεύθυνσης.
- Σημείωση: Τα προϊόντα κουκκίδων μπορεί να είναι αρνητικά ή θετικά, αλλά αυτό το σημάδι δεν αποτελεί ένδειξη κατεύθυνσης. Αν και σε μία διάσταση, η κατεύθυνση του διανύσματος υποδεικνύεται συχνά με σημάδι, οι κλιμακωτές ποσότητες μπορούν επίσης να έχουν σημεία που σχετίζονται με αυτά που δεν είναι δείκτες κατεύθυνσης. Το χρέος είναι μόνο ένα από τα πολλά παραδείγματα αυτού.
Ορισμός του προϊόντος Dot
Το τελείωμα των διανυσμάτωνένα = (αΧ, έναε)καισι = (βΧβε)σε ένα τυπικό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ορίζεται ως εξής:
\ έντονα {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Όταν παίρνετε το προϊόν τελείας ενός διανύσματος με τον εαυτό του, προκύπτει μια ενδιαφέρουσα σχέση:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Πού |ένα| είναι το μέγεθος (μήκος) τουένααπό το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Ένας άλλος τύπος προϊόντος με κουκκίδες μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημίτων. Αυτό γίνεται ως εξής:
Εξετάστε τα μη μηδενικά διανύσματαένακαισιμαζί με το διάνυσμα διαφοράς τουςα - β. Τακτοποιήστε τα τρία διανύσματα για να σχηματίσετε ένα τρίγωνο.
Ο νόμος των συνημίτων από την τριγωνομετρία μας λέει ότι:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ έντονα {a} || \ έντονα {b} | \ cos (\ theta )
Και χρησιμοποιώντας τον ορισμό του προϊόντος κουκκίδων παίρνουμε:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ έντονα {a} | ^ 2 + | \ έντονα {b} | ^ 2 - 2 \ έντονα {a \ cdot β}
Ορίζοντας και τις δύο εκφράσεις ίσες και μετά απλοποιώντας, έχουμε:
\ Cancel {| \ bold {a} | ^ 2} + \ Cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ ακύρωση {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ ακύρωση {| \ έντονα {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ υπονοεί \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ έντονα {b} | \ cos (\ theta)}
Αυτή η διατύπωση επιτρέπει τη γεωμετρική διαίσθηση να ξεκινήσει να παίζει. Η ποσότητα |ένα| cos (θ) είναι το μέγεθος της προβολής του διανύσματοςέναστο διάνυσμασι.
Μπορούμε λοιπόν να σκεφτούμε το προϊόν κουκκίδων ως την προβολή του ενός διανύσματος στον άλλο, και στη συνέχεια το προϊόν των τιμών τους. Με άλλα λόγια, μπορεί να θεωρηθεί το προϊόν ενός διανύσματος με την ποσότητα του άλλου φορέα στην ίδια κατεύθυνση με τον ίδιο.
Ιδιότητες του προϊόντος κουκίδας
Ακολουθούν πολλές ιδιότητες του προϊόντος κουκκίδων που μπορεί να σας φανούν χρήσιμες:
\ # \ κείμενο {1. If} \ theta = 0 \ text {, τότε} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ έντονα {b} |
Αυτό συμβαίνει επειδή cos (0) = 1.
\ # \ κείμενο {2. If} \ theta = 180 \ text {, τότε} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ έντονα {b} |
Αυτό συμβαίνει επειδή cos (180) = -1.
\ # \ κείμενο {3. If} \ theta = 90 \ text {, τότε} \ έντονη γραφή {a \ cdot b} = 0
Αυτό συμβαίνει επειδή cos (90) = 0.
- Σημείωση: Για 0 <
θ
<90, το προϊόν κουκκίδων θα είναι θετικό και για 90 <
θ
<180, το προϊόν με τελείες θα είναι αρνητικό.
\ # \ κείμενο {4. } \ έντονα {a \ cdot b} = \ έντονα {b \ cdot a}
Αυτό προκύπτει από την εφαρμογή του μεταποιητικού νόμου στον ορισμό του προϊόντος κουκκίδων.
\ # \ κείμενο {5. } \ έντονα {a \ cdot (b + c)} = \ έντονα {a \ cdot b} + \ έντονα {a \ cdot c}
Απόδειξη:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ έντονα {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ έντονα {a \ cdot b} + \ έντονα {a \ cdot c}
\ # \ κείμενο {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ έντονα {b}
Απόδειξη:
c (\ έντονα {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ τολμηρή {b}
Πώς να βρείτε το προϊόν Dot
Παράδειγμα 1:Στη φυσική, η εργασία γίνεται με μια δύναμηφάσε ένα αντικείμενο καθώς υφίσταται μετατόπισηρε, ορίζεται ως:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ έντονα {F} || \ έντονα {d} | \ cos (\ theta)
Όπου θ είναι η γωνία μεταξύ του διανύσματος δύναμης και του διανύσματος μετατόπισης.
Το ποσό της εργασίας που γίνεται από μια δύναμη είναι μια ένδειξη του πόσο αυτή η δύναμη συνέβαλε στην μετατόπιση. Εάν η δύναμη είναι στην ίδια κατεύθυνση με την μετατόπιση (cos (θ) = 0), κάνει τη μέγιστη συμβολή της. Εάν είναι κάθετο στην μετατόπιση (cos (Ѳ) = 90), δεν συνεισφέρει καθόλου. Και αν είναι απέναντι από την μετατόπιση, (cos (θ) = 180), έχει αρνητική συμβολή.
Ας υποθέσουμε ότι ένα παιδί σπρώχνει ένα τρένο παιχνιδιών σε μια τροχιά εφαρμόζοντας μια δύναμη 5 Ν σε γωνία 25 μοιρών σε σχέση με τη γραμμή του στίβου. Πόση δουλειά κάνει το παιδί στο τρένο όταν το μετακινεί 0,5 μέτρα;
Λύση:
F = 5 \ κείμενο {N} \\ d = 0,5 \ κείμενο {m} \\ \ theta = 25 \ βαθμό \\
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του προϊόντος για την τελεία της εργασίας και συνδέοντας τιμές, λαμβάνουμε:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ φορές0,5 \ φορές \ cos (25) = \ κουτί {2,27 \ κείμενο {J}}
Από αυτό το συγκεκριμένο παράδειγμα, θα πρέπει να είναι ακόμη πιο ξεκάθαρο ότι η εφαρμογή μιας δύναμης κάθετης προς την κατεύθυνση της μετατόπισης δεν λειτουργεί. Εάν το παιδί σπρώξει την αμαξοστοιχία σε ορθή γωνία προς την πίστα, η αμαξοστοιχία δεν θα κινηθεί ούτε προς τα εμπρός ούτε προς τα πίσω κατά μήκος της τροχιάς. Είναι επίσης διαισθητικό ότι η εργασία του παιδιού στο τρένο θα αυξηθεί καθώς η γωνία μειώνεται και η δύναμη και η μετατόπιση είναι πιο κοντά στην ευθυγράμμιση.
Παράδειγμα 2:Η ισχύς είναι ένα άλλο παράδειγμα φυσικής ποσότητας που μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας ένα προϊόν κουκκίδων. Στη φυσική, η ισχύς ισούται με την εργασία διαιρούμενη με το χρόνο, αλλά μπορεί επίσης να γραφτεί ως το τελικό προϊόν της δύναμης και της ταχύτητας όπως φαίνεται:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ έντονα { F \ cdot v}
Οπουβείναι η ταχύτητα.
Σκεφτείτε το προηγούμενο παράδειγμα του παιδιού που παίζει με το τρένο. Αν αντ 'αυτού μας πει ότι εφαρμόζεται η ίδια δύναμη που προκαλεί την αμαξοστοιχία να κινηθεί στα 2 m / s κάτω από την πίστα, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το προϊόν κουκίδας για να βρούμε τη δύναμη:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ φορές2 \ φορές \ cos (25) = 9.06 \ κείμενο {Watts}
Παράδειγμα 3:Ένα άλλο παράδειγμα όπου τα προϊόντα κουκκίδων χρησιμοποιούνται στη φυσική είναι στην περίπτωση μαγνητικής ροής. Η μαγνητική ροή είναι η ποσότητα του μαγνητικού πεδίου που διέρχεται από μια δεδομένη περιοχή. Βρίσκεται ως προϊόν κουκίδας του μαγνητικού πεδίουσιμε την περιοχήΕΝΑ. (Η κατεύθυνση ενός διανύσματος περιοχής είναικανονικός, ή κάθετα, στην επιφάνεια της περιοχής.)
\ Phi = \ έντονα {B \ cdot A}
Ας υποθέσουμε ότι ένα πεδίο 0,02 Tesla διέρχεται από ένα βρόχο σύρματος ακτίνας 10 cm, κάνοντας μια γωνία 30 μοιρών με το κανονικό. Ποια είναι η ροή;
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 \ φορές (\ pi \ φορές0,1 ^ 2) \ φορές \ cos (30) = 0,000544 \ κείμενο {Wb}
Όταν αλλάζει αυτή η ροή, είτε με αλλαγή της τιμής πεδίου, αλλαγή της περιοχής βρόχου ή αλλαγή της γωνία περιστρέφοντας την πηγή βρόχου ή πεδίου, το ρεύμα θα προκαλείται στον βρόχο, δημιουργώντας ηλεκτρική ενέργεια!
Και πάλι σημειώστε πώς η γωνία είναι σχετική με έναν διαισθητικό τρόπο. Εάν η γωνία ήταν 90 μοίρες, αυτό θα σήμαινε ότι το πεδίο θα βρίσκεται κατά μήκος του ίδιου επιπέδου με την περιοχή και καμία γραμμή πεδίου δεν θα περνούσε μέσω του βρόχου, με αποτέλεσμα να μην υπάρχει ροή. Στη συνέχεια, η ποσότητα ροής αυξάνει όσο πιο κοντά η γωνία μεταξύ του πεδίου και η κανονική φτάνει στο 0. Το προϊόν κουκκίδων μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε πόσο μεγάλο μέρος του πεδίου είναι προς την κανονική κατεύθυνση προς την επιφάνεια και συνεπώς συμβάλλει στη ροή.
Διάνυσμα προβολή και το προϊόν κουκίδας
Σε προηγούμενες ενότητες, αναφέρθηκε ότι το προϊόν κουκκίδων μπορεί να θεωρηθεί ως τρόπος προβολής ενός διανύσματος σε άλλο και στη συνέχεια πολλαπλασιασμό του μεγέθους τους. Ως εκ τούτου, δεν πρέπει να προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι ένας τύπος για προβολή φορέα μπορεί να προέλθει από το προϊόν κουκκίδων.
Για να προβάλλετε το διάνυσμαέναστο διάνυσμασι, παίρνουμε το τελείωμα του προϊόντοςέναμεφορέα μονάδαςστην κατεύθυνση τουσικαι, στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε αυτό το κλιμακωτό αποτέλεσμα με τον ίδιο φορέα φορέα.
Ένας φορέας μονάδας είναι ένας φορέας μήκους 1 που βρίσκεται σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Το διάνυσμα μονάδας προς την κατεύθυνση του διανύσματοςσιείναι απλώς διάνυσμασιδιαιρούμενο με το μέγεθος του:
\ frac {\ bold {b}} {| \ έντονα {b} |}
Έτσι, αυτή η προβολή είναι:
\ text {Προβολή} \ bold {a} \ text {επάνω} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big] \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Μεγάλο (\ έντονο {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ έντονο {b} | ^ 2} \ Μεγάλο] \ έντονο {b}
Το προϊόν Dot σε υψηλότερη διάσταση
Όπως τα διανύσματα υπάρχουν σε υψηλότερη διάσταση, το ίδιο ισχύει και για το προϊόν κουκκίδων. Φανταστείτε το παράδειγμα του παιδιού να σπρώχνει ξανά το τρένο. Ας υποθέσουμε ότι σπρώχνει τόσο προς τα κάτω όσο και υπό γωνία προς την πλευρά του στίβου. Σε ένα τυπικό σύστημα συντεταγμένων, οι φορείς δύναμης και μετατόπισης θα πρέπει να αντιπροσωπεύονται ως τρισδιάστατοι.
Σενδιαστάσεις, το τελικό προϊόν ορίζεται ως εξής:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Όλες οι ίδιες ιδιότητες προϊόντος κουκίδων από πριν εξακολουθούν να ισχύουν και ο νόμος των συνημίτων για άλλη μια φορά δίνει τη σχέση:
\ bold {a \ cdot b} = | \ έντονα {a} || \ έντονα {b} | \ cos (\ theta)
Όπου το μέγεθος κάθε διανύσματος βρίσκεται μέσω των ακόλουθων, και πάλι συνάδει με το Πυθαγόρειο θεώρημα:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Πώς να βρείτε το προϊόν κουκκίδων σε τρεις διαστάσεις
Παράδειγμα 1:Το προϊόν κουκκίδων είναι ιδιαίτερα χρήσιμο όταν χρειάζεται να βρεθεί η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να προσδιορίσουμε τη γωνία μεταξύένα= (2, 3, 2) καισι= (1, 4, 0). Ακόμα κι αν σχεδιάζετε αυτά τα δύο διανύσματα σε 3 διαστήματα, μπορεί να είναι πολύ δύσκολο να τυλίξετε το κεφάλι σας γύρω από τη γεωμετρία. Αλλά τα μαθηματικά είναι αρκετά απλά, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ σημαίνει \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Μεγάλο (\ frac {\ έντονη γραφή {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ έντονη {b} |} \ Μεγάλη)
Στη συνέχεια, τον υπολογισμό του τελικού προϊόντος τουένακαισι:
\ έντονα {a \ cdot b} = 2 \ φορές1 + 3 \ φορές4 + 2 \ φορές0 = 14
Και υπολογισμός των μεγεθών κάθε διανύσματος:
| \ έντονα {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ έντονα {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
Και τελικά συνδέοντας τα πάντα, έχουμε:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {14} {4.12 \ times 4.12} \ Big) = \ boxed {34.4 \ βαθμός}
Παράδειγμα 2:Ένα θετικό φορτίο βρίσκεται στο σημείο συντεταγμένων (3, 5, 4) σε τρισδιάστατο χώρο. Σε ποιο σημείο κατά μήκος της γραμμής που δείχνει προς την κατεύθυνση του διανύσματοςένα= (6, 9, 5) είναι το μεγαλύτερο ηλεκτρικό πεδίο;
Λύση: Από τη γνώση μας για το πώς η ισχύς του ηλεκτρικού πεδίου σχετίζεται με την απόσταση, το γνωρίζουμε στη γραμμή που βρίσκεται πλησιέστερα στο θετικό φορτίο είναι η θέση όπου το πεδίο θα είναι το ισχυρότερη. Από τη γνώση μας για τα προϊόντα κουκκίδων, ίσως υποθέσουμε ότι η χρήση του τύπου προβολής έχει νόημα εδώ. Αυτός ο τύπος πρέπει να μας δώσει έναν φορέα του οποίου η άκρη είναι ακριβώς στο σημείο που αναζητούμε.
Πρέπει να υπολογίσουμε:
\ text {Projection of} (3, 5, 4) \ text {επάνω} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ έντονα { α} | ^ 2} \ Μεγάλο) \ έντονο {a}
Για να γίνει αυτό, πρώτα, ας βρούμε |ένα|2:
| \ έντονα {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Στη συνέχεια, το προϊόν κουκκίδων:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ φορές6 + 5 \ φορές9 + 4 \ φορές5 = 83
Διαχωρίζοντας αυτό με |ένα|2 δίνει 83/142 = 0,585. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας αυτό το κλιμάκιο μεέναδίνει:
0,585 \ έντονη γραφή {a} = 0,585 \ φορές (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Εξ ου και το σημείο κατά μήκος της γραμμής όπου το πεδίο είναι το ισχυρότερο είναι (3.51, 5.27, 2.93).