Πώς να υπολογίσετε τους όγκους των πενταγωνικών πρισμάτων

ΕΝΑ πρίσμα μπορεί να είναι ένα κομψό διακοσμητικό αντικείμενο, ένα εργαλείο στη φυσική ή απλώς μια δελεαστική γεωμετρική κατασκευή που τυχαίνει επίσης να είναι χρήσιμη. Το ανθρώπινο μάτι και το μυαλό έχουν γεν για συμμετρία στην τέχνη και στη φύση και βρίσκουν ελκυστικότητα σε τρισδιάστατα σχήματα που είναι τακτικά, πολύπλευρα και μεταδίδουν καθώς και αντανακλούν το φως.

Αντικείμενα με α παρτίδα πλευρών - για παράδειγμα, ένα δωδεκάεδρο, το οποίο έχει 12 πανομοιότυπα πέντε όψεων που αποτελούν την επιφάνειά του - είναι διασκεδαστικό να το δούμε, αλλά τα μαθηματικά που βασίζονται στη γεωμετρία τους μπορούν να είναι κουραστικά στην καλύτερη περίπτωση.

Ένα πρίσμα πέντε πλευρών (δηλαδή, πενταγωνικό) είναι ένα χρήσιμο σημείο εκκίνησης για τους μαθητές που προσπαθούν να μάθουν πώς να υπολογίζουν τον όγκο των κανονικών πολυέδρονα, εκ των οποίων τα πρίσματα είναι ένας από τους πολλούς κοινούς τύπους και ένας άπειρος αριθμός θεωρητικών τύπων.

Το "Polyhedra" ακούγεται ίσως σαν τέρας από τον κόσμο της ελληνικής μυθολογίας. Στην πραγματικότητα, το "ελληνικό" μέρος αυτού είναι σωστό: Η λέξη

Ένα πολυέδρον είναι οποιοδήποτε τρισδιάστατο στερεό που αποτελείται από επίπεδες όψεις. Το πρόσωπο στο οποίο απεικονίζεται ένας πολυέδρος είναι «ανάπαυση» είναι η βάση του, η οποία μπορεί να είναι πανομοιότυπη με όλες, μερικές ή καμία από τις άλλες όψεις. Το απλούστερο παράδειγμα είναι ένα πυραμίδα, που έχει τέσσερα τριγωνικά πρόσωπα. Ένας κύβος έχει έξι πανομοιότυπα πρόσωπα και είναι μια ειδική περίπτωση του α κυβοειδές, που είναι κάθε σχήμα έξι όψεων που αποτελείται από ορθές γωνίες.

ΕΝΑ πρίσμα είναι ένα πολύεδρο που θα μπορούσε να έχει δημιουργηθεί με το "σπρώχνοντας" α πολύγωνο, ή δισδιάστατο σχήμα με τρεις ή περισσότερες γωνίες, σε ευθεία γραμμή μέσω του διαστήματος για να σχηματίσουν δύο άκρα και να τα συνδέσουν χρησιμοποιώντας τόσα παράλληλα επίπεδα όπως το πρίσμα έχει πλευρές. Το απλούστερο πρίσμα αποτελείται από δύο ισόπλευρα τρίγωνα με τα πρόσωπά τους παράλληλα μεταξύ τους και χωρίζονται από τρεις ίδιες ορθογώνιες όψεις προσανατολισμένες σε γωνίες 60 μοιρών με τις γειτονικές τους πρόσωπα.

ΕΝΑ πενταγωνικό πρίσμα το ίδιο πράγμα επεκτάθηκε για να συμπεριλάβει δύο επιπλέον γωνίες και δύο ακόμη πρόσωπα. Περιλαμβάνει έτσι δύο πενταγωνικές βάσεις και πέντε ορθογώνιες πλευρές. Είναι επομένως α επτάεδρος, επειδή έχει επτά πλευρές (επτά- είναι ένα πρόθεμα Grrek που σημαίνει "επτά").

Η περιοχή οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου (δηλαδή, στην οποία όλες οι γωνίες και οι πλευρές είναι ίδιες) με πλευρικό μήκος μικρό μπορεί να βρεθεί από τον τύπο:

A = (n) (s)²) / [4 μαύρισμα (180 / n)]

Για ένα πεντάγωνο (n = 5), αυτό μειώνεται σε:

A = 5s²/2.91 = 1.72 δευτ²

Αν επρόκειτο να "ξεδιπλώσετε" ή "ισοπεδώσετε" ένα πενταγωνικό πρίσμα από χαρτόνι, θα μείνατε με δύο ίδιες όψεις πενταγώνου (τις βάσεις του πρίσματος) και πέντε ίδιες ορθογώνιες όψεις.

Δύο πλευρές κάθε ορθογωνίου μοιράζονται τις πλευρές των πενταγώνων. καλέστε αυτό το μήκος μικρό. Αν καλέσετε ετικέτα τις άλλες δύο πλευρές (που μπορεί να είναι τόσο σύντομες ή όσο θέλετε, τουλάχιστον θεωρητικά) η, τότε η περιοχή κάθε ορθογώνιας πλευράς είναι SH, και η περιοχή όλων των πλευρών συνδυάζεται είναι 5δ.

Υπάρχουν δύο πενταγωνικές όψεις, οπότε η συνολική επιφάνεια ενός πενταγωνικού πρίσματος είναι:

A = 5 (sh) + 2 (1,72 δευτ²) = 5 (sh) + 3,44 δευτ²

Για οποιοδήποτε τυπικό πρίσμα, ο όγκος είναι ακριβώς η περιοχή της βάσης επί το ύψος. Αυτό σημαίνει πολλαπλασιασμός 1,72 δευτ², η τιμή για την περιοχή ενός πενταγώνου από την προηγούμενη εξίσωση, από το ύψος η σε οποιεσδήποτε μονάδες χρησιμοποιείτε. Ο τύπος όγκου είναι:

V = 1,72 δευτ²η

Για παράδειγμα, εάν έχετε ένα μεγάλο πενταγωνικό πρίσμα με ύψος 30 cm (0,3 m) και πλευρές 10 cm (0,1 m), η περιοχή είναι:

A = 5 (sh) + 2 (1,72 δευτ²) = 5 (0,3 m) (0,1 m) + 2 (1,72) (0,1 m)²

= 0,15 + 0,0344 = 0,1844 μ²

Ο τόμος δίνεται από:

V = (1,72) (0,1 m)²(0,3 m) = 0,00516 = 5,16 × 10^-3 Μ³