Όπως και στην άλγεβρα, όταν αρχίζετε να μαθαίνετε την τριγωνομετρία, θα συσσωρεύετε σύνολα τύπων που είναι χρήσιμα για την επίλυση προβλημάτων. Ένα τέτοιο σύνολο είναι οι ταυτότητες μισής γωνίας, τις οποίες μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για δύο σκοπούς. Το ένα είναι η μετατροπή τριγωνομετρικών συναρτήσεων του (θ/ 2) σε συναρτήσεις από την άποψη των πιο οικείων (και πιο εύκολα χειρισμών)θ. Το άλλο είναι να βρείτε την πραγματική τιμή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων τουθ, πότεθμπορεί να εκφραστεί ως το ήμισυ μιας πιο οικείας γωνίας.
Επανεξέταση των ταυτοτήτων μισής γωνίας
Πολλά βιβλία μαθηματικών θα απαριθμήσουν τέσσερις κύριες ταυτότητες μισής γωνίας. Αλλά εφαρμόζοντας ένα μείγμα άλγεβρας και τριγωνομετρίας, αυτές οι εξισώσεις μπορούν να μασάζ σε διάφορες χρήσιμες μορφές. Δεν χρειάζεται απαραίτητα να τα απομνημονεύσετε όλα αυτά (εκτός αν επιμένει ο δάσκαλός σας), αλλά πρέπει τουλάχιστον να κατανοήσετε πώς να τα χρησιμοποιήσετε:
Ταυτότητα μισής γωνίας για ημιτονοειδή
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Ταυτότητα μισής γωνίας για το συνημίτονο
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Ταυτότητες μισής γωνίας για εφαπτομένη
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Ταυτότητες μισής γωνίας για συντεταγμένη
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Ένα παράδειγμα χρήσης ταυτοτήτων μισής γωνίας
Λοιπόν, πώς χρησιμοποιείτε ταυτότητες μισής γωνίας; Το πρώτο βήμα είναι να αναγνωρίσετε ότι αντιμετωπίζετε μια γωνία που είναι μισή από μια πιο οικεία γωνία.
- Τεταρτημόριο I: όλες οι λειτουργίες trig
- Τεταρτημόριο II: μόνο ημιτονοειδές και κομματικό
- Τεταρτημόριο III: μόνο εφαπτομένη και συντεταγμένη
- Τεταρτημόριο IV: μόνο συνημίτονο και διαχωριστικό
φανταστείτε ότι σας ζητείται να βρείτε το ημίτονο της γωνίας 15 μοίρες. Αυτή δεν είναι μια από τις γωνίες που οι περισσότεροι μαθητές θα απομνημονεύσουν τις τιμές των συναρτήσεων trig για. Αλλά αν αφήσετε 15 μοίρες ίσο με θ / 2 και μετά λύσετε το θ, θα βρείτε ότι:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Επειδή το προκύπτον θ, 30 μοίρες, είναι μια πιο οικεία γωνία, η χρήση του τύπου μισής γωνίας εδώ θα είναι χρήσιμη.
Επειδή σας ζητήθηκε να βρείτε το ημίτονο, υπάρχει πραγματικά μόνο ένας τύπος μισής γωνίας για να διαλέξετε:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Αντικατάσταση σεθ/ 2 = 15 μοίρες καιθ= 30 μοίρες σας δίνει:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Εάν σας ζητούσαν να βρείτε την εφαπτομένη ή την ομοιόμορφη, και οι δύο πολλαπλασιάζοντας τους μισούς τρόπους έκφρασης της ταυτότητας μισής γωνίας, θα επιλέξετε απλώς την έκδοση που φαινόταν πιο εύκολο να δουλέψετε.
Το σύμβολο ± στην αρχή ορισμένων ταυτοτήτων μισής γωνίας σημαίνει ότι η εν λόγω ρίζα μπορεί να είναι θετική ή αρνητική. Μπορείτε να επιλύσετε αυτήν την ασάφεια χρησιμοποιώντας τις γνώσεις σας για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε τεταρτημόρια. Ακολουθεί μια γρήγορη ανακεφαλαίωση των οποίων οι λειτουργίες trig επιστρέφουνθετικόςτιμές στις οποίες τα τεταρτημόρια:
Επειδή σε αυτήν την περίπτωση η γωνία σας θ αντιπροσωπεύει 30 μοίρες, η οποία πέφτει στο Τεταρτημόριο Ι, γνωρίζετε ότι η ημιτονοειδής τιμή που επιστρέφει θα είναι θετική. Έτσι μπορείτε να αφήσετε το σύμβολο ± και απλά να αξιολογήσετε:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Αντικαταστήστε τη γνωστή, γνωστή τιμή του cos (30). Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήστε τις ακριβείς τιμές (σε αντίθεση με τις δεκαδικές προσεγγίσεις από ένα γράφημα):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Στη συνέχεια, απλοποιήστε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης σας για να βρείτε μια τιμή για την αμαρτία (15). Ξεκινήστε πολλαπλασιάζοντας την έκφραση κάτω από τη ρίζα με 2/2, η οποία σας δίνει:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Αυτό απλοποιεί:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Στη συνέχεια, μπορείτε να προσδιορίσετε την τετραγωνική ρίζα του 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
Στις περισσότερες περιπτώσεις, πρόκειται για απλούστευση. Αν και το αποτέλεσμα μπορεί να μην είναι τρομερά όμορφο, έχετε μεταφράσει το ημίτονο μιας άγνωστης γωνίας σε μια ακριβή ποσότητα.