Οι κύκλοι είναι παντού στον πραγματικό κόσμο, γι 'αυτό οι ακτίνες, οι διάμετροι και η περιφέρεια τους είναι σημαντικές στις εφαρμογές της πραγματικής ζωής. Υπάρχουν όμως και άλλα μέρη κύκλων - τομείς και γωνίες, για παράδειγμα - που έχουν επίσης σημασία και στις καθημερινές εφαρμογές. Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν τομεακά μεγέθη κυκλικών τροφίμων όπως κέικ και πίτες, η γωνία που διανύθηκε σε έναν τροχό Ferris το μέγεθος ενός ελαστικού σε ένα συγκεκριμένο όχημα και ειδικά το μέγεθος ενός δακτυλίου για μια δέσμευση ή γάμος. Για αυτούς τους λόγους και περισσότερο, η γεωμετρία έχει επίσης εξισώσεις και υπολογισμούς προβλημάτων που ασχολούνται με κεντρικές γωνίες, τόξα και τομείς ενός κύκλου.
Τι είναι η Κεντρική Γωνία;
Η κεντρική γωνία ορίζεται ως η γωνία που δημιουργείται από δύο ακτίνες ή ακτίνες που ακτινοβολούν από το κέντρο ενός κύκλου, με το κέντρο του κύκλου να είναι η κορυφή της κεντρικής γωνίας. Οι κεντρικές γωνίες είναι ιδιαίτερα σημαντικές όσον αφορά την ομοιόμορφη κατανομή της πίτσας, ή οποιουδήποτε άλλου φαγητού με βάση την κυκλική, μεταξύ ενός καθορισμένου αριθμού ατόμων. Ας πούμε ότι υπάρχουν πέντε άτομα σε ένα σόι, όπου θα μοιράζονται μια μεγάλη πίτσα και ένα μεγάλο κέικ. Ποια είναι η γωνία που πρέπει να χωριστούν τόσο η πίτσα όσο και το κέικ για να εξασφαλιστεί ίση φέτα για όλους; Δεδομένου ότι υπάρχουν 360 μοίρες σε έναν κύκλο, ο υπολογισμός γίνεται 360 μοίρες διαιρούμενος με 5 για να φτάσει στους 72 μοίρες, έτσι ώστε κάθε φέτα, είτε της πίτσας είτε του κέικ, να έχει κεντρική γωνία, ή θήτα (θ), με μέτρηση 72 βαθμούς.
Προσδιορισμός της κεντρικής γωνίας από το μήκος του τόξου
Ένα τόξο του κύκλου αναφέρεται σε ένα "τμήμα" της περιφέρειας του κύκλου. Το μήκος τόξου είναι επομένως το μήκος αυτού του «τμήματος». Εάν φανταστείτε μια φέτα πίτσας, η περιοχή του τομέα μπορεί να είναι απεικονίζεται ως ολόκληρο κομμάτι πίτσας, αλλά το μήκος του τόξου είναι το μήκος της εξωτερικής άκρης του φλοιού για αυτό συγκεκριμένη φέτα. Από το μήκος του τόξου, μπορεί να υπολογιστεί η κεντρική γωνία. Πράγματι, ένας τύπος που μπορεί να βοηθήσει στον προσδιορισμό της κεντρικής γωνίας δηλώνει ότι το μήκος του τόξου είναι ίσο με την ακτίνα επί την κεντρική γωνία ή
s = r × θ
όπου η γωνία, θήτα, πρέπει να μετρηθεί σε ακτίνια. Επομένως, για να λύσουμε την κεντρική γωνία, το θήτα, πρέπει να διαιρέσουμε μόνο το μήκος του τόξου με την ακτίνα, ή
\ frac {s} {r} = θ
Για παράδειγμα, εάν το μήκος του τόξου είναι 5,9 και η ακτίνα είναι 3,5329, τότε η κεντρική γωνία γίνεται 1,67 ακτίνια. Ένα άλλο παράδειγμα είναι εάν το μήκος του τόξου είναι 2 και η ακτίνα είναι 2, η κεντρική γωνία γίνεται 1 ακτίνια. Εάν θέλετε να μετατρέψετε ακτίνια σε μοίρες, θυμηθείτε ότι 1 ακτίνα ισούται με 180 μοίρες διαιρούμενο με π, ή 57.2958 μοίρες. Αντίθετα, εάν μια εξίσωση ζητά να μετατρέψει τους βαθμούς πίσω σε ακτίνια, τότε πολλαπλασιάστε πρώτα με π και, στη συνέχεια, διαιρέστε με 180 μοίρες.
Προσδιορισμός της κεντρικής γωνίας από την περιοχή του τομέα
Μια άλλη χρήσιμη φόρμουλα για τον προσδιορισμό της κεντρικής γωνίας παρέχεται από την περιοχή του τομέα, η οποία και πάλι μπορεί να απεικονιστεί ως ένα κομμάτι πίτσας. Αυτή η συγκεκριμένη φόρμουλα μπορεί να φανεί με δύο τρόπους. Η πρώτη έχει την κεντρική γωνία που μετριέται σε μοίρες έτσι ώστε η περιοχή του τομέα να ισούται με π φορές το ακτίνα-τετράγωνο και στη συνέχεια πολλαπλασιάζεται με την ποσότητα της κεντρικής γωνίας σε μοίρες διαιρούμενη με 360 βαθμούς. Με άλλα λόγια:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {κεντρική γωνία σε μοίρες}} {360 \ κείμενο {μοίρες}} = \ κείμενο {περιοχή τομέα}
Εάν η κεντρική γωνία μετριέται σε ακτίνια, ο τύπος γίνεται αντ 'αυτού:
\ text {sector area} = r ^ 2 × \ frac {\ text {κεντρική γωνία σε ακτίνια}} {2}
Η αναδιάταξη των τύπων θα βοηθήσει στην επίλυση της τιμής της κεντρικής γωνίας ή του θήτα. Εξετάστε μια περιοχή τομέα 52,3 τετραγωνικών εκατοστών με ακτίνα 10 εκατοστών. Ποια θα ήταν η κεντρική του γωνία σε μοίρες; Οι υπολογισμοί θα ξεκινήσουν με μια περιοχή τομέα 52,3 τετραγωνικών εκατοστών να είναι ίση με:
\ frac {θ} {360 \ κείμενο {μοίρες}} × πr ^ 2
Από την ακτίνα (ρ) ισούται με 10, ολόκληρη η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως:
\ frac {52.3} {100π} × 360
έτσι ώστε το θήτα να μπορεί να γραφτεί ως:
\ frac {52.3} {314} × 360
Έτσι, η τελική απάντηση γίνεται μια κεντρική γωνία 60 μοιρών.