Το άθροισμα των τετραγώνων είναι ένα εργαλείο που οι στατιστικολόγοι και οι επιστήμονες χρησιμοποιούν για να αξιολογήσουν τη συνολική διακύμανση ενός συνόλου δεδομένων από το μέσο όρο του. Ένα μεγάλο άθροισμα τετραγώνων υποδηλώνει μεγάλη διακύμανση, που σημαίνει ότι οι μεμονωμένες αναγνώσεις κυμαίνονται ευρέως από τη μέση τιμή.
Αυτές οι πληροφορίες είναι χρήσιμες σε πολλές περιπτώσεις. Για παράδειγμα, μια μεγάλη διακύμανση των μετρήσεων της αρτηριακής πίεσης για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο θα μπορούσε να δείξει μια αστάθεια στο καρδιαγγειακό σύστημα που χρειάζεται ιατρική βοήθεια. Για τους χρηματοοικονομικούς συμβούλους, μια μεγάλη διακύμανση των ημερήσιων αξιών των μετοχών σημαίνει αστάθεια της αγοράς και υψηλότερους κινδύνους για τους επενδυτές. Όταν παίρνετε την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων, λαμβάνετε την τυπική απόκλιση, έναν ακόμη πιο χρήσιμο αριθμό.
Βρίσκοντας το άθροισμα των τετραγώνων
Ο αριθμός των μετρήσεων είναι το μέγεθος του δείγματος. Δηλώστε το με το γράμμα "ν."
Ο μέσος όρος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος όλων των μετρήσεων. Για να το βρείτε, προσθέτετε όλες τις μετρήσεις και διαιρείτε με το μέγεθος του δείγματος,ν.
Οι αριθμοί μεγαλύτεροι από τον μέσο όρο παράγουν έναν αρνητικό αριθμό, αλλά αυτό δεν έχει σημασία. Αυτό το βήμα παράγει μια σειρά από μεμονωμένες αποκλίσεις από το μέσο όρο.
Όταν τετραγωνίζετε έναν αριθμό, το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικό. Τώρα έχετε μια σειρά n θετικών αριθμών.
Αυτό το τελευταίο βήμα παράγει το άθροισμα των τετραγώνων. Τώρα έχετε μια τυπική απόκλιση για το μέγεθος του δείγματος σας.
Τυπική απόκλιση
Οι στατιστικολόγοι και οι επιστήμονες συνήθως προσθέτουν ένα ακόμη βήμα για να παράγουν έναν αριθμό που έχει τις ίδιες μονάδες με κάθε μία από τις μετρήσεις. Το βήμα είναι να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων. Αυτός ο αριθμός είναι η τυπική απόκλιση και υποδηλώνει το μέσο ποσό κάθε μέτρησης που αποκλίνει από το μέσο όρο Οι αριθμοί εκτός της τυπικής απόκλισης είναι είτε ασυνήθιστα υψηλοί είτε ασυνήθιστα χαμηλοί.
Παράδειγμα
Ας υποθέσουμε ότι μετράτε την εξωτερική θερμοκρασία κάθε πρωί για μια εβδομάδα για να πάρετε μια ιδέα για το πόσο η θερμοκρασία κυμαίνεται στην περιοχή σας. Παίρνετε μια σειρά θερμοκρασιών σε βαθμούς Φαρενάιτ που μοιάζει με αυτό:
Δευ: 55, Τρί: 62, Τετ: 45, Πέμπτη: 32, Παρ: 50, Σάβ: 57, Κυρ: 54
Για να υπολογίσετε τη μέση θερμοκρασία, προσθέστε τις μετρήσεις και διαιρέστε με τον αριθμό που καταγράψατε, ο οποίος είναι 7. Βρίσκετε το μέσο όρο να είναι 50,7 μοίρες.
Τώρα υπολογίστε τις μεμονωμένες αποκλίσεις από το μέσο όρο. Αυτή η σειρά είναι:
50.7 - 55 = -4.3 \\ 50.7 -62 = −11.3 \\ 50.7 -45 = 5.7 \\ 50.7 - 32 = 18.7 \\ 50.7 -50 = 0.7 \\ 50.7 - 57 = −6.3 \\ 50.7 - 54 = −2.3
Τετράγωνο κάθε αριθμού:
-4.3^2 = 18.49 \\ −11.3^2 = 127.69 \\ 5.7^2 = 32.49\\ 18.7^2 = 349.69 \\ 0.7^2 = 0.49\\ −6.3^2 = 39.69 \\ −2.3^2 = 5.29
Προσθέστε τους αριθμούς και διαιρέστε με (ν- 1) = 6 για να πάρετε 95,64. Αυτό είναι το άθροισμα των τετραγώνων για αυτήν τη σειρά μετρήσεων. Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα αυτού του αριθμού, ή 9,78 βαθμοί Φαρενάιτ.
Είναι ένας αρκετά μεγάλος αριθμός, που σας λέει ότι οι θερμοκρασίες ποικίλλουν αρκετά την εβδομάδα. Σας λέει επίσης ότι η Τρίτη ήταν ασυνήθιστα ζεστή, ενώ η Πέμπτη ήταν ασυνήθιστα κρύα. Ίσως να το αισθανόσασταν αυτό, αλλά τώρα έχετε στατιστικά στοιχεία.