Πώς να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα

Στην καθημερινή ομιλία, η «ταχύτητα» και η «ταχύτητα» χρησιμοποιούνται συχνά εναλλακτικά. Στη φυσική, ωστόσο, αυτοί οι όροι έχουν συγκεκριμένες και ξεχωριστές έννοιες. "Ταχύτητα" είναι ο ρυθμός μετατόπισης ενός αντικειμένου στο διάστημα και δίνεται μόνο από έναν αριθμό με συγκεκριμένες μονάδες (συχνά σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο ή μίλια ανά ώρα). Η ταχύτητα, από την άλλη πλευρά, είναι μια ταχύτητα που συνδέεται με μια κατεύθυνση. Η ταχύτητα, λοιπόν, ονομάζεται κλιμακωτή ποσότητα, ενώ η ταχύτητα είναι μια διανυσματική ποσότητα.

Όταν ένα αυτοκίνητο περιστρέφεται κατά μήκος μιας εθνικής οδού ή ένα μπέιζμπολ κτυπάει στον αέρα, η ταχύτητα αυτών των αντικειμένων μετράται σε σχέση με το έδαφος, ενώ η ταχύτητα ενσωματώνει περισσότερες πληροφορίες. Για παράδειγμα, αν βρίσκεστε σε αυτοκίνητο που ταξιδεύει με ταχύτητα 70 μιλίων ανά ώρα στο Interstate 95 στην Ανατολική Ακτή του Ηνωμένες Πολιτείες, είναι επίσης χρήσιμο να γνωρίζουμε αν κατευθύνεται βορειοανατολικά προς Βοστώνη ή νότια προς Φλόριντα. Με το μπέιζμπολ, ίσως θελήσετε να μάθετε εάν η συντεταγμένη του y αλλάζει πιο γρήγορα από τη συντεταγμένη x (μια μπάλα μύγας) ή εάν το αντίστροφο ισχύει (μια κίνηση γραμμής). Αλλά τι γίνεται με την περιστροφή των ελαστικών ή την περιστροφή (περιστροφή) του μπέιζμπολ καθώς το αυτοκίνητο και η μπάλα κινούνται προς τον τελικό προορισμό τους; Για τέτοιου είδους ερωτήσεις, η φυσική προσφέρει την έννοια του

Τα πράγματα περνούν από τον τρισδιάστατο φυσικό χώρο με δύο βασικούς τρόπους: μετάφραση και περιστροφή. Η μετάφραση είναι η μετατόπιση ολόκληρου του αντικειμένου από τη μία τοποθεσία στην άλλη, όπως ένα αυτοκίνητο που οδηγεί από τη Νέα Υόρκη στο Λος Άντζελες. Η περιστροφή, από την άλλη πλευρά, είναι η κυκλική κίνηση ενός αντικειμένου γύρω από ένα σταθερό σημείο. Πολλά αντικείμενα, όπως το μπέιζμπολ στο παραπάνω παράδειγμα, παρουσιάζουν ταυτόχρονα και τους δύο τύπους κίνησης. Καθώς μια μπάλα μύγας κινείται μέσω του αέρα από την πλάκα του σπιτιού προς το φράχτη του outfield, περιστρέφεται επίσης με δεδομένο ρυθμό γύρω από το κέντρο της.

Η περιγραφή αυτών των δύο ειδών κίνησης αντιμετωπίζεται ως ξεχωριστά προβλήματα φυσικής. δηλαδή, κατά τον υπολογισμό της απόστασης που διανύει η μπάλα μέσω του αέρα με βάση πράγματα όπως η αρχική γωνία εκτόξευσης και η ταχύτητα με την οποία αφήνει το ρόπαλο, μπορείτε να αγνοήσετε την περιστροφή του, και όταν υπολογίζετε την περιστροφή του, μπορείτε να το αντιμετωπίζετε ως καθιστικό σε ένα μέρος για το παρόν σκοποί.

Πρώτον, όταν μιλάτε για "γωνιακή" οτιδήποτε, είτε πρόκειται για ταχύτητα είτε για κάποια άλλη φυσική ποσότητα, αναγνωρίστε ότι, επειδή ασχολείστε με γωνίες, μιλάτε για ταξίδια σε κύκλους ή τμήματα τούτου. Μπορεί να θυμάστε από τη γεωμετρία ή το τριγωνομετρία ότι η περιφέρεια ενός κύκλου είναι η διάμετρος του επί το σταθερό pi, ήπ. (Η τιμή του pi είναι περίπου 3,14159.) Αυτό εκφράζεται πιο συχνά ως προς την ακτίνα του κύκλουρ, η οποία είναι η μισή διάμετρος, κάνοντας την περιφέρεια2πρ​.

Επιπλέον, πιθανότατα έχετε μάθει κάπου ότι ένας κύκλος αποτελείται από 360 μοίρες (360 °). Εάν μετακινήσετε μια απόσταση S κατά μήκος ενός κύκλου, η γωνιακή μετατόπιση θ είναι ίση με S / r. Μια πλήρης επανάσταση, λοιπόν, δίνει 2πr / r, που αφήνει μόλις 2π. Αυτό σημαίνει ότι γωνίες μικρότερες από 360 ° μπορούν να εκφραστούν σε όρους pi, ή με άλλα λόγια, ως ακτίνια.

Συγκεντρώνοντας όλα αυτά τα στοιχεία, μπορείτε να εκφράσετε γωνίες ή τμήματα ενός κύκλου, σε μονάδες εκτός από μοίρες:

Ενώ η γραμμική ταχύτητα εκφράζεται σε μήκος ανά μονάδα χρόνου, η γωνιακή ταχύτητα μετριέται σε ακτίνια ανά μονάδα χρόνου, συνήθως ανά δευτερόλεπτο.

Εάν γνωρίζετε ότι ένα σωματίδιο κινείται σε κυκλικό μονοπάτι με ταχύτηταβσε μια απόστασηραπό το κέντρο του κύκλου, με την κατεύθυνση τουβπάντα κάθετα στην ακτίνα του κύκλου, τότε μπορεί να γραφτεί η γωνιακή ταχύτητα

όπουωείναι το ελληνικό γράμμα ωμέγα. Οι μονάδες γωνιακής ταχύτητας είναι ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. μπορείτε επίσης να αντιμετωπίσετε αυτήν τη μονάδα ως "αμοιβαία δευτερόλεπτα", επειδή τα v / r αποδίδουν m / s διαιρούμενα με m, ή s^-1, που σημαίνει ότι τα ακτίνια είναι τεχνικά μια μονάδα χωρίς μονάδα.

Ο τύπος γωνιακής επιτάχυνσης παράγεται με τον ίδιο ουσιαστικό τρόπο με τον τύπο γωνιακής ταχύτητας: Είναι απλώς η γραμμική επιτάχυνση σε κατεύθυνση κάθετη προς μια ακτίνα του κύκλου (ισοδύναμα, η επιτάχυνσή του κατά μήκος μιας εφαπτομένης προς την κυκλική διαδρομή σε οποιοδήποτε σημείο) διαιρούμενη με την ακτίνα του κύκλου ή τμήμα ενός κύκλου, το οποίο είναι:

Αυτό δίνεται επίσης από:

γιατί για κυκλική κίνηση:

​α, όπως μάλλον γνωρίζετε, είναι το ελληνικό γράμμα «άλφα». Ο δείκτης "t" εδώ σημαίνει "εφαπτομένη".

Περιέργως, ωστόσο, η περιστροφική κίνηση μπορεί να υπερηφανεύεται για ένα άλλο είδος επιτάχυνσης, που ονομάζεται κεντρομετρική επιτάχυνση. Αυτό δίνεται από την έκφραση:

Αυτή η επιτάχυνση κατευθύνεται προς το σημείο γύρω από το οποίο περιστρέφεται το εν λόγω αντικείμενο. Αυτό μπορεί να φαίνεται περίεργο, καθώς το αντικείμενο δεν πλησιάζει αυτό το κεντρικό σημείο από την ακτίναρείναι σταθερό. Σκεφτείτε την κεντρομόλο επιτάχυνση ως ελεύθερη πτώση στην οποία δεν υπάρχει κίνδυνος να χτυπήσει το αντικείμενο στο έδαφος, επειδή η δύναμη που αντικείμενο προς αυτό (συνήθως βαρύτητα) αντισταθμίζεται ακριβώς από την εφαπτομενική (γραμμική) επιτάχυνση που περιγράφεται από την πρώτη εξίσωση σε αυτήν την ενότητα. Ανένα_ντοδεν ήταν ίσοι μεένα_τ, το αντικείμενο είτε πετάει στο διάστημα είτε σύντομα συντρίβεται στη μέση του κύκλου.

Αν και η γωνιακή ταχύτητα εκφράζεται συνήθως, όπως σημειώνεται, σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο, μπορεί να υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες είναι προτιμάται ή είναι απαραίτητο να χρησιμοποιούνται μοίρες ανά δευτερόλεπτο, ή αντίστροφα, για μετατροπή από μοίρες σε ακτίνια πριν από την επίλυση a πρόβλημα.

Ας πούμε ότι μια πηγή φωτός περιστρέφεται κατά 90 ° κάθε δευτερόλεπτο με σταθερή ταχύτητα. Ποια είναι η γωνιακή του ταχύτητα στα ακτίνια;

Αρχικά, θυμηθείτε ότι 2π ακτίνια = 360 ° και ορίστε μια αναλογία:

Η απάντηση είναι μισό pi ακτίνια ανά δευτερόλεπτο.

Εάν σας είπαν περαιτέρω ότι η δέσμη φωτός έχει εύρος 10 μέτρων, ποια θα ήταν η άκρη της γραμμικής ταχύτητας της δέσμηςβ, η γωνιακή επιτάχυνσηακαι η κεντρομόλο επιτάχυνσή τουένα_ντο​?

Για επίλυσηβ, από ψηλά, v = ωr, όπου ω = π / 2 και r = 10m:

Να βρωα, υποθέστε ότι η γωνιακή ταχύτητα επιτυγχάνεται σε 1 δευτερόλεπτο και μετά:

(Λάβετε υπόψη ότι αυτό λειτουργεί μόνο για προβλήματα στα οποία η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή.)

Τέλος, επίσης από ψηλά,

Με βάση το προηγούμενο πρόβλημα, φανταστείτε τον εαυτό σας σε έναν πολύ μεγάλο γύρο, με απίθανη ακτίνα 10 χιλιομέτρων (10.000 μέτρα). Αυτός ο καλός γύρος κάνει μια πλήρη επανάσταση κάθε 1 λεπτό και 40 δευτερόλεπτα ή κάθε 100 δευτερόλεπτα.

Μια συνέπεια της διαφοράς μεταξύ της γωνιακής ταχύτητας, η οποία είναι ανεξάρτητη από την απόσταση από ο άξονας περιστροφής και η γραμμική κυκλική ταχύτητα, που δεν είναι, είναι ότι δύο άτομα βιώνουν το ίδιοωμπορεί να υποστεί πολύ διαφορετική φυσική εμπειρία. Εάν τυχαίνει να είστε 1 μέτρο από το κέντρο, εάν αυτός ο υποθετικός, τεράστιος γύρος, η γραμμική (εφαπτομενική) ταχύτητα είναι:

ή 6,29 cm (λιγότερο από 3 ίντσες) ανά δευτερόλεπτο.

Αλλά αν βρίσκεστε στο χείλος αυτού του τέρατος, η γραμμική σας ταχύτητα είναι:

Αυτό είναι περίπου 1.406 μίλια την ώρα, γρηγορότερα από μια σφαίρα. Περιμένω!