Τρόπος εύρεσης dy / dx με έμμεση διαφοροποίηση, δεδομένης παρόμοιας εξίσωσης με

Η έμμεση διαφοροποίηση είναι μια τεχνική που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του παραγώγου μιας συνάρτησης με τη μορφή y = f (x).

Για να μάθουμε πώς να χρησιμοποιούμε σιωπηρή διαφοροποίηση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο σε ένα απλό παράδειγμα και στη συνέχεια να διερευνήσουμε μερικές πιο περίπλοκες περιπτώσεις.

Αν και ακούγεται πιο περίπλοκο, η σιωπηρή διαφοροποίηση χρησιμοποιεί όλα τα ίδια μαθηματικά και δεξιότητες με τη βασική διαφοροποίηση. Το σημαντικό πράγμα που πρέπει να σημειωθεί, ωστόσο, είναι ότι η εξαρτημένη μεταβλητή μας εμφανίζεται τώρα στην ίδια τη συνάρτηση.

Πάρτε μια απλή εξίσωση όπως xy = 1. Υπάρχουν δύο τρόποι για να βρείτε το παράγωγο του ε σε σχέση με Χ, ή dy ​​/ dx. Πρώτον, μπορούμε απλά να λύσουμε ε στην εξίσωση και χρησιμοποιήστε τον κανόνα ισχύος για παράγωγα. Κάτι τέτοιο θα απέδωσε: y = 1 / x. Επομένως, η εφαρμογή του κανόνα ισχύος αποκάλυψε ότι dy / dx = -1 / x².

Μπορούμε επίσης να κάνουμε αυτό το πρόβλημα χρησιμοποιώντας σιωπηρή διαφοροποίηση. Ευτυχώς, γνωρίζουμε ήδη την απάντηση (θα πρέπει να είναι η ίδια ανεξάρτητα από τον τρόπο υπολογισμού της), ώστε να μπορούμε να ελέγξουμε τη δουλειά μας!

Για να ξεκινήσετε, εφαρμόστε το παράγωγο και στις δύο πλευρές της εξίσωσης xy = 1. Τότε, d / dx (xy) = d / dx (1); σαφώς η δεξιά πλευρά είναι τώρα ίση με 0, αλλά η αριστερή πλευρά απαιτεί τον κανόνα της αλυσίδας. Αυτό συμβαίνει επειδή παίρνουμε το παράγωγο της λειτουργίας μας, ε, ενώ πολλαπλασιάζεται σε έναν άλλο παράγοντα του Χ. Για να υπολογίσετε αυτό: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Θα χρησιμοποιήσουμε τον πρωταρχικό συμβολισμό για να υποδείξουμε ένα παράγωγο σε σχέση με το Χ.

Ξαναγράφοντας τις αποδόσεις εξίσωσης: y + xy '= 0. Ήρθε η ώρα να λύσουμε ε στην εξίσωση μας! Σαφώς, y '= -y / x. Αλλά χρησιμοποιώντας τις αρχικές πληροφορίες, γνωρίζουμε ότι y = 1 / x, έτσι μπορούμε να το αντικαταστήσουμε ξανά. Μόλις το κάνουμε αυτό, βλέπουμε ότι y '= -1 / x², όπως βρήκαμε πριν.

Για να προσδιορίσουμε το παράγωγο του y = sin (xy), θα χρησιμοποιήσουμε τη σιωπηρή διαφοροποίηση θυμόμαστε ότι (d / dx) y = y '.

Αρχικά, εφαρμόστε το παράγωγο και στις δύο πλευρές της εξίσωσης: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι ξεκάθαρα ε, για αυτό πρέπει να λύσουμε, αλλά η δεξιά πλευρά θα απαιτήσει κάποια εργασία. συγκεκριμένα, ο κανόνας αλυσίδας και ο κανόνας προϊόντος. Πρώτον, ο κανόνας αλυσίδας πρέπει να εφαρμοστεί στο sin (xy) και, στη συνέχεια, ο κανόνας προϊόντος για το όρισμα xy. Ευτυχώς, υπολογίσαμε ήδη αυτόν τον κανόνα προϊόντος.

Στη συνέχεια, η απλούστευση δίνει: y '= cos (xy) (y + xy').

Είναι σαφές ότι αυτή η εξίσωση πρέπει να λυθεί ε προκειμένου να καθοριστεί πώς ε σχετίζεται με Χ και ε.

Απομονώστε όλους τους όρους με ε στη μία πλευρά: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

Στη συνέχεια, ξεχωρίστε το ε για να πάρετε: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Τώρα βλέπουμε ότι y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

Θα χρειαστεί περαιτέρω απλοποίηση, αλλά επειδή η λειτουργία μας ορίζεται αναδρομικά, η σύνδεση στο y = sin (xy) πιθανότατα δεν θα αποφέρει ικανοποιητική λύση. Σε αυτήν την περίπτωση, περισσότερες πληροφορίες ή μια πιο εξελιγμένη μέθοδος για τη χάραξη αυτών των εξισώσεων μπορεί να είναι χρήσιμη.

Πρώτον, να θυμάστε ότι η σιωπηρή διαφοροποίηση βασίζεται σε μια από τις μεταβλητές να είναι συνάρτηση της άλλης. Συνήθως, βλέπουμε τις συναρτήσεις ως y = f (x), αλλά μπορεί κανείς να γράψει μια συνάρτηση x = f (y). Να είστε προσεκτικοί όταν προσεγγίζετε αυτά τα προβλήματα για να προσδιορίσετε ποια μεταβλητή εξαρτάται από την άλλη.

Στη συνέχεια, θυμηθείτε να εφαρμόσετε προσεκτικά τους κανόνες παραγώγων. Η σιωπηρή διαφοροποίηση απαιτεί τον κανόνα αλυσίδας πολύ συχνά, καθώς και τον κανόνα προϊόντος και τον κανόνα πηλίκου. Η σωστή εφαρμογή αυτών των μεθόδων θα είναι απαραίτητη για τον καθορισμό της τελικής απάντησης.

Τέλος, επιλύστε το επιθυμητό παράγωγο απομονώνοντας το και απλοποιώντας όσο το δυνατόν περισσότερο τις εκφράσεις.