Η ευκλείδεια απόσταση είναι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων στον ευκλείδειο χώρο. Ο ευκλείδειος χώρος αρχικά επινοήθηκε από τον Έλληνα μαθηματικό Euclid γύρω στο 300 π.Χ. να μελετήσει τις σχέσεις μεταξύ γωνιών και αποστάσεων. Αυτό το σύστημα γεωμετρίας χρησιμοποιείται ακόμη σήμερα και είναι αυτό που οι μαθητές γυμνασίου μελετούν συχνότερα. Η ευκλείδεια γεωμετρία ισχύει ειδικά για χώρους δύο και τριών διαστάσεων. Ωστόσο, μπορεί εύκολα να γενικευτεί σε υψηλότερες διαστάσεις παραγγελίας.
Υπολογίστε την Ευκλείδεια απόσταση για μία διάσταση. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μία διάσταση είναι απλά η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ των συντεταγμένων τους. Μαθηματικά, εμφανίζεται ως | p1 - q1 | όπου το p1 είναι η πρώτη συντεταγμένη του πρώτου σημείου και το q1 είναι η πρώτη συντεταγμένη του δεύτερου σημείου. Χρησιμοποιούμε την απόλυτη τιμή αυτής της διαφοράς, καθώς η απόσταση θεωρείται συνήθως ότι έχει μόνο μια μη αρνητική τιμή.
Πάρτε δύο σημεία P και Q σε δισδιάστατο ευκλείδειο χώρο. Θα περιγράψουμε το P με τις συντεταγμένες (p1, p2) και το Q με τις συντεταγμένες (q1, q2). Τώρα δημιουργήστε ένα τμήμα γραμμής με τα τελικά σημεία των P και Q. Αυτό το τμήμα γραμμής θα σχηματίσει την υπόταση ενός δεξιού τριγώνου. Επεκτείνοντας τα αποτελέσματα που λαμβάνονται στο Βήμα 1, σημειώνουμε ότι τα μήκη των ποδιών αυτού του τριγώνου δίδονται από | p1 - q1 | και | p2 - q2 |. Η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων θα δοθεί στη συνέχεια ως το μήκος της υπότασης.
Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να προσδιορίσετε το μήκος της υπότασης στο Βήμα 2. Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 όπου c είναι το μήκος της υποτενούς χρήσης ενός δεξιού τριγώνου και a, b είναι τα μήκη των άλλων δύο ποδιών. Αυτό μας δίνει c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Η απόσταση μεταξύ 2 σημείων P = (p1, p2) και Q = (q1, q2) σε δισδιάστατο χώρο είναι επομένως ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Επεκτείνετε τα αποτελέσματα του Βήματος 3 σε τρισδιάστατο χώρο. Η απόσταση μεταξύ των σημείων P = (p1, p2, p3) και Q = (q1, q2, q3) μπορεί στη συνέχεια να δοθεί ως ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Γενικεύστε τη λύση στο Βήμα 4 για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων P = (p1, p2,..., pn) και Q = (q1, q2,..., qn) σε διαστάσεις n. Αυτή η γενική λύση μπορεί να δοθεί ως ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 +... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).