Νόμοι της κίνησης εκκρεμούς

Τα εκκρεμή έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες που χρησιμοποιούν οι φυσικοί για να περιγράψουν άλλα αντικείμενα. Για παράδειγμα, η πλανητική τροχιά ακολουθεί ένα παρόμοιο μοτίβο και η ταλάντευση σε ένα σετ ταλάντευσης μπορεί να αισθάνεται σαν να βρίσκεστε σε εκκρεμές. Αυτές οι ιδιότητες προέρχονται από μια σειρά νόμων που διέπουν την κίνηση του εκκρεμούς. Με την εκμάθηση αυτών των νόμων, μπορείτε να αρχίσετε να κατανοείτε μερικές από τις βασικές αρχές της φυσικής και της κίνησης γενικά.

Η κίνηση ενός εκκρεμούς μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας

στο οποίοθαντιπροσωπεύει τη γωνία μεταξύ της χορδής και της κατακόρυφης γραμμής στο κέντρο,ταντιπροσωπεύει το χρόνο καιΤείναι η περίοδος, ο χρόνος που απαιτείται για να πραγματοποιηθεί ένας πλήρης κύκλος της κίνησης του εκκρεμούς (μετρούμενος από1 / στ), της κίνησης εκκρεμούς.

​Απλή αρμονική κίνηση, ή κίνηση που περιγράφει πώς η ταχύτητα ενός αντικειμένου ταλαντεύεται ανάλογα με την ποσότητα μετατόπισης από την ισορροπία, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει την εξίσωση ενός εκκρεμούς. Η ταλάντωση του εκκρεμούς διατηρείται σε κίνηση από αυτή τη δύναμη που ενεργεί πάνω της καθώς κινείται εμπρός και πίσω.

•••Σουντ Χουσεΐν Άθερ

Οι νόμοι που διέπουν την κίνηση εκκρεμών οδήγησαν στην ανακάλυψη μιας σημαντικής ιδιότητας. Οι φυσικοί χωρίζουν τις δυνάμεις σε κάθετο και οριζόντιο στοιχείο. Σε κίνηση εκκρεμούς,τρεις δυνάμεις λειτουργούν απευθείας στο εκκρεμές: η μάζα του μπομπ, η βαρύτητα και η ένταση στο κορδόνι. Η μάζα και η βαρύτητα λειτουργούν κατακόρυφα προς τα κάτω. Δεδομένου ότι το εκκρεμές δεν κινείται προς τα πάνω ή προς τα κάτω, το κατακόρυφο στοιχείο της τάσης του κορδονιού ακυρώνει τη μάζα και τη βαρύτητα.

Αυτό δείχνει ότι η μάζα ενός εκκρεμούς δεν έχει σχέση με την κίνησή του, αλλά η οριζόντια τάση του νήματος. Η απλή αρμονική κίνηση είναι παρόμοια με την κυκλική κίνηση. Μπορείτε να περιγράψετε ένα αντικείμενο που κινείται σε κυκλική διαδρομή όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, καθορίζοντας τη γωνία και την ακτίνα που παίρνει στην αντίστοιχη κυκλική διαδρομή. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία του δεξιού τριγώνου μεταξύ του κέντρου του κύκλου, της θέσης του αντικειμένου και της μετατόπισης και στις δύο κατευθύνσεις x και y, μπορείτε να βρείτε εξισώσειςx = rsin (θ)καιy = rcos (θ).​

Η μονοδιάστατη εξίσωση ενός αντικειμένου με απλή αρμονική κίνηση δίνεται απόx = r cos (ωt).Μπορείτε να αντικαταστήσετε περαιτέρωΕΝΑΓιαρστο οποίοΕΝΑείναι τοεύρος, η μέγιστη μετατόπιση από την αρχική θέση του αντικειμένου.

Η γωνιακή ταχύτηταωσε σχέση με το χρόνοτγια αυτές τις γωνίεςθδίνεται απόθ = ωt. Αν αντικαταστήσετε την εξίσωση που σχετίζεται με τη γωνιακή ταχύτητα με τη συχνότηταφά​, ​ω = 2​​πf, μπορείτε να φανταστείτε αυτήν την κυκλική κίνηση, τότε, ως μέρος ενός εκκρεμούς που αιωρείται μπρος-πίσω, τότε η προκύπτουσα απλή εξίσωση αρμονικής κίνησης είναι

•••Σουντ Χουσεΐν Άθερ

Τα εκκρεμή, όπως οι μάζες σε μια πηγή, είναι παραδείγματααπλοί αρμονικοί ταλαντωτές: Υπάρχει μια δύναμη αποκατάστασης που αυξάνεται ανάλογα με το πώς μετατοπίζεται το εκκρεμές και η κίνησή τους μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας τοαπλή εξίσωση αρμονικών ταλαντωτών​

στο οποίοθαντιπροσωπεύει τη γωνία μεταξύ της χορδής και της κατακόρυφης γραμμής στο κέντρο,ταντιπροσωπεύει το χρόνο καιΤείναι τοπερίοδος, ο χρόνος που απαιτείται για να πραγματοποιηθεί ένας πλήρης κύκλος της κίνησης του εκκρεμούς (μετρούμενος από1 / στ), της κίνησης εκκρεμούς.

​θ_{Μέγιστη}είναι ένας άλλος τρόπος για να ορίσετε το μέγιστο της γωνίας που κυμαίνεται κατά την κίνηση του εκκρεμούς και είναι ένας άλλος τρόπος για τον προσδιορισμό του πλάτους του εκκρεμούς. Αυτό το βήμα εξηγείται παρακάτω στην ενότητα "Ορισμός απλού εκκρεμούς".

Μια άλλη επίπτωση των νόμων ενός απλού εκκρεμούς είναι ότι η περίοδος ταλάντωσης με σταθερό μήκος είναι ανεξάρτητη από το μέγεθος, το σχήμα, τη μάζα και το υλικό του αντικειμένου στο τέλος της συμβολοσειράς. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα μέσω της απλής παραγωγής εκκρεμών και των εξισώσεων που προκύπτουν.

Μπορείτε να προσδιορίσετε την εξίσωση για ένααπλό εκκρεμές, ο ορισμός που εξαρτάται από έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή, από μια σειρά βημάτων που ξεκινούν με την εξίσωση της κίνησης για ένα εκκρεμές. Επειδή η δύναμη της βαρύτητας ενός εκκρεμούς ισούται με τη δύναμη της κίνησης του εκκρεμούς, μπορείτε να τα ρυθμίσετε ίσα μεταξύ τους χρησιμοποιώντας τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα με μάζα εκκρεμούςΜ, μήκος συμβολοσειράςμεγάλο, γωνίαθ,βαρυτική επιτάχυνσησολκαι χρονικό διάστηματ​.

•••Σουντ Χουσεΐν Άθερ

Θέτετε το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ίσο με τη στιγμή της αδράνειαςI = κύριε²για λίγη μάζαΜκαι ακτίνα της κυκλικής κίνησης (μήκος της χορδής σε αυτή την περίπτωση)ρεπί τη γωνιακή επιτάχυνσηα​.

1. ​ΣF = Μα: Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα αναφέρει ότι η καθαρή δύναμηΣΦσε ένα αντικείμενο ισούται με τη μάζα του αντικειμένου πολλαπλασιαζόμενη με επιτάχυνση.
2. ​Μα = Ι α: Αυτό σας επιτρέπει να ρυθμίσετε τη δύναμη της βαρυτικής επιτάχυνσης (-Mg sin (θ) L)ίση με τη δύναμη της περιστροφής
   
3. ​-Mg sin (θ) L = Ι α​: Μπορείτε να λάβετε την κατεύθυνση για την κατακόρυφη δύναμη λόγω της βαρύτητας (-Μα) υπολογίζοντας την επιτάχυνση ωςsin (θ) Λανsin (θ) = d / Lγια κάποια οριζόντια μετατόπισηρεκαι γωνίαθ​ για να λάβουμε υπόψη την κατεύθυνση.
   
4. ​-Mg sin (θ) L = ML² α: Αντικαθιστάτε την εξίσωση για τη στιγμή της αδράνειας ενός περιστρεφόμενου σώματος χρησιμοποιώντας μήκος χορδής L ως ακτίνα.
   
5. ​-Mg sin (θ) L = -ML²​​ρε²θ / dt: Λάβετε υπόψη τη γωνιακή επιτάχυνση αντικαθιστώντας το δεύτερο παράγωγο της γωνίας σε σχέση με το χρόνο γιαα.Αυτό το βήμα απαιτεί υπολογισμούς και διαφορικές εξισώσεις.
   
6. ​ρε²θ / dt² + (g / L) sinθ = 0: Μπορείτε να το αποκτήσετε από την αναδιάταξη των δύο πλευρών της εξίσωσης
   
7. ​ρε²θ / dt² + (g / L) θ = 0: Μπορείτε να προσεγγίσετεαμαρτία (θ)όπως καιθγια τους σκοπούς ενός απλού εκκρεμούς σε πολύ μικρές γωνίες ταλάντωσης
   
8. ​θ (t) = θ_{Μέγιστη}cos (t (L / g)²): Η εξίσωση της κίνησης έχει αυτή τη λύση. Μπορείτε να το επαληθεύσετε λαμβάνοντας το δεύτερο παράγωγο αυτής της εξίσωσης και προσπαθώντας να πάρετε το βήμα 7.

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι δημιουργίας μιας απλής παραγωγής εκκρεμών. Κατανοήστε την έννοια πίσω από κάθε βήμα για να δείτε πώς σχετίζονται. Μπορείτε να περιγράψετε μια απλή κίνηση εκκρεμών χρησιμοποιώντας αυτές τις θεωρίες, αλλά θα πρέπει επίσης να λάβετε υπόψη άλλους παράγοντες που μπορεί να επηρεάσουν τη θεωρία του απλού εκκρεμούς.

Εάν συγκρίνετε το αποτέλεσμα αυτής της παραγώγου

στην εξίσωση ενός απλού αρμονικού ταλαντωτήσιορίζοντάς τα ισότιμα ​​μεταξύ τους, μπορείτε να αντλήσετε μια εξίσωση για την περίοδο Τ:

Παρατηρήστε ότι αυτή η εξίσωση δεν εξαρτάται από τη μάζαΜτου εκκρεμούς, το πλάτοςθ_{Μέγιστη}, ούτε την ώρατ. Αυτό σημαίνει ότι η περίοδος είναι ανεξάρτητη από τη μάζα, το πλάτος και το χρόνο, αλλά, αντ 'αυτού, βασίζεται στο μήκος της συμβολοσειράς. Σας δίνει έναν συνοπτικό τρόπο έκφρασης της εκκρεμής κίνησης.

Με την εξίσωση για μια περίοδο, μπορείτε να αναδιατάξετε την εξίσωση για να αποκτήσετε

και αντικαταστήστε 1 δευτερόλεπτο γιαΤκαι9,8 m / s²ΓιασολαποκτώL =0,0025 μ. Λάβετε υπόψη ότι αυτές οι εξισώσεις της απλής θεωρίας εκκρεμών υποθέτουν ότι το μήκος της συμβολοσειράς είναι χωρίς τριβή και χωρίς μάζα. Για να ληφθούν υπόψη αυτοί οι παράγοντες θα απαιτούσαν πιο περίπλοκες εξισώσεις.

Μπορείτε να τραβήξετε το εκκρεμές πίσωθγια να το αφήσουμε να ταλαντεύεται μπρος-πίσω για να το βλέπει να ταλαντεύεται όπως ένα ελατήριο. Για ένα απλό εκκρεμές μπορείτε να το περιγράψετε χρησιμοποιώντας εξισώσεις κίνησης ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή. Η εξίσωση κίνησης λειτουργεί καλά για μικρότερες τιμές γωνίας καιεύρος, τη μέγιστη γωνία, επειδή το απλό μοντέλο εκκρεμούς βασίζεται στην προσέγγιση πουαμαρτία (θ)​ ≈ ​θγια κάποια γωνία εκκρεμούςθ.Καθώς οι τιμές γωνίες και πλάτη γίνονται μεγαλύτερες από περίπου 20 μοίρες, αυτή η προσέγγιση δεν λειτουργεί επίσης.

Δοκιμάστε το μόνοι σας. Ένα εκκρεμές που αιωρείται με μεγάλη αρχική γωνίαθδεν θα ταλαντευτεί τόσο τακτικά για να σας επιτρέψει να χρησιμοποιήσετε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή για να το περιγράψετε. Σε μικρότερη αρχική γωνίαθ, το εκκρεμές πλησιάζει μια τακτική, ταλαντωτική κίνηση πολύ πιο εύκολα. Επειδή η μάζα ενός εκκρεμούς δεν επηρεάζει την κίνησή του, οι φυσικοί έχουν αποδείξει ότι όλα τα εκκρεμή έχουν την ίδια περίοδο για ταλάντωση γωνίες - η γωνία μεταξύ του κέντρου του εκκρεμούς στο υψηλότερο σημείο και του κέντρου του εκκρεμούς στη θέση στάσης του - μικρότερη από 20 βαθμούς.

Για όλους τους πρακτικούς σκοπούς ενός εκκρεμούς σε κίνηση, το εκκρεμές τελικά θα επιβραδυνθεί και θα σταματήσει λόγω του τριβή μεταξύ του κορδονιού και του σημείου πρόσδεσής του παραπάνω καθώς και λόγω της αντίστασης του αέρα μεταξύ του εκκρεμούς και του αέρα γύρω του.

Για πρακτικά παραδείγματα κίνησης εκκρεμούς, η περίοδος και η ταχύτητα εξαρτώνται από τον τύπο του χρησιμοποιούμενου υλικού που θα προκαλούσε αυτά τα παραδείγματα τριβής και αντίστασης στον αέρα. Εάν εκτελέσετε υπολογισμούς σχετικά με τη θεωρητική ταλαντωτική συμπεριφορά εκκρεμών χωρίς να λάβετε υπόψη αυτές τις δυνάμεις, τότε θα αντιπροσωπεύει ένα εκκρεμές που ταλαντεύεται απεριόριστα.

Ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα καθορίζει την ταχύτητα των αντικειμένων ως απόκριση στις δυνάμεις. Ο νόμος αναφέρει ότι εάν ένα αντικείμενο κινείται με συγκεκριμένη ταχύτητα και σε ευθεία γραμμή, θα συνεχίσει να κινείται με αυτή την ταχύτητα και σε ευθεία γραμμή, απεριόριστα, αρκεί να μην ασκείται καμία άλλη δύναμη. Φανταστείτε να πετάτε μια μπάλα ευθεία προς τα εμπρός - η μπάλα θα κινείται γύρω από τη γη ξανά και ξανά αν η αντίσταση του αέρα και η βαρύτητα δεν ενεργήσουν πάνω της. Αυτός ο νόμος δείχνει ότι δεδομένου ότι ένα εκκρεμές κινείται πλάι-πλάι και όχι πάνω-κάτω δεν έχει πάνω και κάτω δυνάμεις που ενεργούν πάνω του.

Ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της καθαρής δύναμης στο εκκρεμές θέτοντας τη βαρυτική δύναμη ίση με τη δύναμη της χορδής που τραβά προς τα πίσω στο εκκρεμές. Ο καθορισμός αυτών των εξισώσεων μεταξύ τους σας επιτρέπει να αντλήσετε τις εξισώσεις κίνησης για το εκκρεμές.

Ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα αναφέρει ότι κάθε δράση έχει μια αντίδραση ίσης δύναμης. Αυτός ο νόμος λειτουργεί με τον πρώτο νόμο που δείχνει ότι παρόλο που η μάζα και η βαρύτητα ακυρώνουν το κατακόρυφο στοιχείο του διανύσματος έντασης χορδών, τίποτα δεν ακυρώνει το οριζόντιο στοιχείο. Αυτός ο νόμος δείχνει ότι οι δυνάμεις που δρουν σε ένα εκκρεμές μπορούν να ακυρώσουν η μία την άλλη.

Οι φυσικοί χρησιμοποιούν τον πρώτο, δεύτερο και τρίτο νόμο του Νεύτωνα για να αποδείξουν ότι η ένταση της οριζόντιας χορδής κινεί το εκκρεμές ανεξάρτητα από τη μάζα ή τη βαρύτητα. Οι νόμοι ενός απλού εκκρεμούς ακολουθούν τις ιδέες των τριών νόμων κίνησης του Νεύτωνα.