Wenn Sie mathematische Kuriositäten mögen, werden Sie das Dreieck von Pascal lieben. Benannt nach dem französischen Mathematiker Blaise Pascal aus dem 17. Jahrhundert und den Chinesen viele Jahrhunderte vor Pascal als Yanghui-Dreieck bekannt, ist es eigentlich mehr als eine Kuriosität. Es ist eine bestimmte Anordnung von Zahlen, die in der Algebra und der Wahrscheinlichkeitstheorie unglaublich nützlich ist. Einige seiner Eigenschaften sind verwirrender und interessanter als nützlich. Sie helfen, die geheimnisvolle Harmonie der Welt zu veranschaulichen, wie sie durch Zahlen und Mathematik beschrieben wird.
Die Regel zur Konstruktion des Pascalschen Dreiecks könnte nicht einfacher sein. Beginnen Sie mit der Nummer eins an der Spitze und bilden Sie die zweite Reihe darunter mit einem Paar Einsen. Um die dritte und alle folgenden Reihen zu konstruieren, beginnen Sie damit, eine am Anfang und am Ende zu setzen. Leiten Sie jede Ziffer zwischen diesem Einsenpaar ab, indem Sie die beiden Ziffern unmittelbar darüber addieren. Die dritte Reihe ist also 1, 2, 1, die vierte Reihe ist 1, 3, 3, 1, die fünfte Reihe ist 1, 4, 6, 4, 1 und so weiter. Besetzt jede Ziffer ein Kästchen, das die gleiche Größe wie alle anderen Kästchen hat, bildet die Anordnung eine perfekte gleichseitiges Dreieck, das auf zwei Seiten durch Einsen begrenzt ist und eine Basis hat, die der Länge der Reihe entspricht. Die Reihen sind insofern symmetrisch, als sie sich vorwärts und rückwärts gleich lesen.
Pascal entdeckte das Dreieck, das persischen und chinesischen Philosophen seit Jahrhunderten bekannt war, als er die algebraische Erweiterung des Ausdrucks (x + y) studierte.nein. Wenn Sie diesen Ausdruck in die n-te Potenz erweitern, entsprechen die Koeffizienten der Terme in der Erweiterung den Zahlen in der n-ten Reihe des Dreiecks. Beispiel: (x + y)0 = 1; (x + y)1 = x + y; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 und so weiter. Aus diesem Grund nennen Mathematiker die Anordnung manchmal das Dreieck der Binomialkoeffizienten. Für große Zahlen von n ist es offensichtlich einfacher, die Entwicklungskoeffizienten aus dem Dreieck abzulesen als sie zu berechnen.
Angenommen, Sie werfen eine Münze eine bestimmte Anzahl von Malen. Wie viele Kombinationen von Kopf und Zahl können Sie erhalten? Sie können es herausfinden, indem Sie sich die Reihe im Pascal-Dreieck ansehen, die der Anzahl der Münzwürfe entspricht, und alle Zahlen in dieser Reihe addieren. Wenn Sie die Münze beispielsweise dreimal werfen, gibt es 1 + 3 + 3 + 1 = 8 Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander das gleiche Ergebnis zu erhalten, beträgt daher 1/8.
Auf ähnliche Weise können Sie das Pascal-Dreieck verwenden, um herauszufinden, auf wie viele Arten Sie Objekte oder Auswahlmöglichkeiten aus einer bestimmten Menge kombinieren können. Angenommen, Sie haben 5 Kugeln und möchten wissen, auf wie viele Arten Sie zwei davon auswählen können. Gehen Sie einfach in die fünfte Zeile und sehen Sie sich den zweiten Eintrag an, um die Antwort zu finden, die 5 ist.
